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| 128 | solution des questions 494 et 499, ecc. |
Propriété de la cubique gauche.
J’ai trouvé cette propriété en m’occupant de cette courbe a double courbure dans ma solution de la question 435 (Nouvelles Annales, t. XVIII, p. 199).
“Par une cubique gauche osculée par le plan à l’infini passe un seul cylindre du second ordre, et ce cylindre est parabolique„. J’ai énoncé cette proposition dans mon dernier Mémoire inséré dans les Annali di Matematica (Rome, juillet et août 1859): Intorno alle coniche inscritte in una stessa superficie sviluppabile del quart’ordine. Or voici le nouveau théorème.
“Pour chaque plan parallèle au cylindre, la courbe admet un système de cordes paralleles à ce plan, dont les points milieux sont situés sur une même droite (diamètre). Ce diamètre passe par le point de la cubique gauche où elle est touchée par un plan parallèle aux cordes; il est la droite d’intersection du plan osculateur avec le plan asymptote, qui correspondent à ce même point (par chaque point de la courbe passe un plan asymptote, c’est-à-dire tangent à l’infini, et tous ces plans sont parallèles entre eux).
“Donc par chaque point de la courbe passe un diamètre, qui bissecte les cordes parallèles au plan qui touche, sans osculer, la courbe au même point25. Tous ces diamètres sont parallèles à un même plan, savoir à la direction des plans asymptotes, et forment une surface du troisième ordre.
“La courbe admet au moins un point (et au plus trois) où la droite tangente et le diamètre correspondant se rencontrent sous un angle droit„.
On voit par là la frappante analogie entre cette courbe à double courbure et la parabole ordinaire1.
