Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/141

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solution des questions 494 et 499, ecc. 127


(la droite xs coupe C dans un point, la droite qui passe par ce point et par o rencontre A dans un autre point qui avec l donne une droite passant par x).

Cette équation contient deux fois l’élément variable x, et par conséquent, selon le théorème général de M. Grassmann, elle appartient à une conique. Cette conique passe par les cinq points:

s, l, AC, soA, loC;


ce qui est évident, parce que chacun d’eux satisfait identiquement l’équation de la courbe.

Dans l’autre énoncé, question 499, la construction du point variable x (b) est indiquée par l’équation planimétrique qui suit:

(xpNq) (xoMr) (xs) = 0


(exprimant que les trois droites xpNq, xoMr, xs passent par un même point). Cette équation contient trois fois le point variable x; donc elle appartient à une cubique. On trouve aisément que cette courbe contient les neuf points:

o, p, s, MN, (pq) (or), qsN, rsM, pqM, orN.

M. Grassmann démontre que l’équation ci-dessus est complètement générale, c’est-à-dire, elle représente toute courbe plane du troisième ordre.

La question 494 (Nouvelles Annales, t. XVIII, p. 444) est un autre théorème de M. Grassmann (Journal de Crelle, t. XXXI). La construction du point variable x (q) donne l’équation planimétrique

(xaA) (xbB) (xcC) = 0,


exprimant que les trois points xaA, xbB, xcC sont en ligne droite. L’équation contient trois fois l’élément variable x, donc le lieu de la question 494 est une cubique, qui passe par les neuf points:

a, b, c, BC, CA, AB, bcA, caB, abC.


Soit X la droite variable qui contient les trois points xaA, xbB, xcC: on aura évidemment

(XAa) (XBb) (XCc) = 0


donc la droite X enveloppe une courbe de la troisième classe, qui touche les neuf droites:

A, B, C, bc, ca, ab, BCa, CAb, ABc.


Ainsi on peut regarder comme résolues les questions 494 et 499.