Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/140

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126 solution des questions 494 et 499, ecc.

par M. Grassmann dans un ouvrage intéressant (die Wissenschaft der extension Grössen oder die Ausdehnungslehre), imprimé à Leipzig en 1844, et dans des Mémoires postérieurs (Preisschriften gekrönt und herausgegeben von der fürstlich Jablonowski’ schen Gesellschaft, Leipzig, 1847, Journal de Crelle, t. XXXI, XXXVI, XLII, XLIV, XLIX, LII). Excepté MM. Möbius (Preisschriften, etc., ut supra) et Bellavitis (Atti dell’Istituto Veneto, decembre 1854), je ne sache pas que quelque géomètre ait donné aux recherches de M. Grassmann l’attention qu’elles méritent.

Je vais reproduire ici les premières définitions et conventions de cette ingénieuse théorie, que l’auteur nomme analyse géométrique. Je désignerai toujours les points par de petites lettres, et les droites par des lettres majuscules.

Première définition. ab représente la droite qui joint les points a et b.

Deuxième définition. AB représente le point commun aux droites A et B.

Conventions. On pose:

ab = 0 si les points a et b coïncident;

AB = 0 si les droites A et B (indéfinies) coïncident;

aB = 0 ou bien Ba = 0 si le point a est sur la droite B.

Cela posé, soient a, b deux points fixes, x un point variable:

abx = 0


est l’équation d’une droite, car elle exprime que x est toujours sur ab. De même

ABX = 0


est l’équation d’un point, enveloppe de la droite mobile X.

M. Grassmann démontre la proposition qui suit, et qui est la généralisation du théorème de Pascal (hexagramma mysticum).

“Si un point x mobile dans un plan est assujetti à la condition qu’un certain point et une certaine droite, déduisibles du point x et d’une série de points et droites fixes au moyen de constructions excutées avec la seule règle, doivent tomber l’un dans l’autre, et si le point x a été employé n fois dans ces constructions, le lieu du point x sera une courbe de l’ordre n.„

L’auteur donne aussi le théorème corrélatif pour la génération des courbes de la classe n, et les propositions analogues dans l’espace pour la génération des surfaces algébriques.

La construction du point variable x(p) dans le premier énoncé rectifié, question 499, est représentée par l’équation planimétrique (selon l’appellation de M. Grassmann):

xsCoAlx = 0