Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/158

144

sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

Le quantità μ, ν si ponno assumere come coordinate ellittiche tangenziali.

Superficie di second’ordine congiunte.

11. Data la superficie di second’ordine:

1)	ax2 + by2 + cz2 — 1 = 0

e la sfera di raggio nullo, o cono immaginario:

2)	(x — α)2 + (y — β)2 + (z — γ)2 = 0,

qualunque superficie (di second’ordine), circoscritta alla loro curva di ideale intersezione, è rappresentata dall’equazione:

3)	ax2 + by2 + cz2 — 1 + ω ((x — α)2 + (y — β)2 + (z — γ)2) = 0.

Tutte le superficie comprese in questa equazione hanno in comune le direzioni dei piani ciclici. Il luogo dei centri delle medesime è la cubica gobba:

$x={\frac {\alpha \omega }{a+\omega }},$     $y={\frac {\beta \omega }{b+\omega }},$     $x={\frac {\gamma \omega }{c+\omega }}$

che ha gli assintoti paralleli agli assi principali delle superficie (3). Questa curva ha quattro punti appartenenti alle superficie, di cui sono i rispettivi centri: i quali punti sono i vertici del tetraedro polare comune, ossia sono i vertici d’altrettanti coni che fanno parte del sistema (3), secondo il noto teorema di Poncelet¹. Uno di tali coni è quello rappresentato dalla (2). Questi coni diconsi congiunti alla superficie data (1) relativamente al punto (α, β, γ). Diremo anche che tutte le superficie (3) sono congiunte rispetto a questo medesimo punto.

12. Data adunque una superficie di second’ordine, riferita ad assi ortogonali:

U = 0

ed un punto O di coordinate (α, β, γ), tutte le superficie congiunte ad essa rispetto a questo punto sono incluse nell’equazione:

U + iS = 0

essendo:

S = (x — α)² + (y — β)² + (z — γ)²

ed i un parametro indeterminato.

---

1. Traité des propriétés projectives des figures, Paris, 1822: p. 395.