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sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

Le quantità $\mu$, $\nu$ si ponno assumere come coordinate ellittiche tangenziali.

Superficie di second’ordine congiunte.

11. Data la superficie di second’ordine:

1)	$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1=0$

e la sfera di raggio nullo, o cono immaginario:

2)	$(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}+(z-\gamma )^{2}=0,$

qualunque superficie (di second’ordine), circoscritta alla loro curva di ideale intersezione, è rappresentata dall’equazione:

3)	$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}-1+\omega {\Big (}(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}+(z-\gamma )^{2}{\Big )}=0.$

Tutte le superficie comprese in questa equazione hanno in comune le direzioni dei piani ciclici. Il luogo dei centri delle medesime è la cubica gobba:

$x={\frac {\alpha \omega }{a+\omega }},$     $y={\frac {\beta \omega }{b+\omega }},$     $x={\frac {\gamma \omega }{c+\omega }}$

che ha gli assintoti paralleli agli assi principali delle superficie (3). Questa curva ha quattro punti appartenenti alle superficie, di cui sono i rispettivi centri: i quali punti sono i vertici del tetraedro polare comune, ossia sono i vertici d’altrettanti coni che fanno parte del sistema (3), secondo il noto teorema di Poncelet^[1]. Uno di tali coni è quello rappresentato dalla (2). Questi coni diconsi congiunti alla superficie data (1) relativamente al punto $(\alpha ,\beta ,\gamma )$. Diremo anche che tutte le superficie (3) sono congiunte rispetto a questo medesimo punto.

12. Data adunque una superficie di second’ordine, riferita ad assi ortogonali:

$\mathrm {U} =0$

ed un punto $\mathrm {O}$ di coordinate $(\alpha ,\beta ,\gamma )$, tutte le superficie congiunte ad essa rispetto a questo punto sono incluse nell’equazione:

$\mathrm {U} +i\mathrm {S} =0$

essendo:

$\mathrm {S} =(x-\alpha )^{2}+(y-\beta )^{2}+(z-\gamma )^{2}$

ed $i$ un parametro indeterminato.

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1. Traité des propriétés projectives des figures, Paris, 1822: p. 395.