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sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte.

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Se U = 0 rappresenta il sistema di due piani, questi diventano i piani direttori relativi al fuoco O per la superficie U + iS = 0; cioè O è un punto focale per questa superficie, e que’ due piani sono i corrispondenti piani direttori¹. Se i due piani U = 0 passano pel punto O, la superficie U + iS = 0 è un cono del quale O è il vertice e que’ due piani sono i piani ciclici.

Se U è il quadrato d’una funzione lineare delle x, y, z, cioè se U = 0 rappresenta un piano unico, la superficie U + iS = 0 è di rotazione: per essa O è un fuoco ed U = 0 è il relativo piano direttore. Se il piano U = 0 passasse per O, la superficie U + iS = 0 sarebbe un cono di rotazione, avente il vertice in O e l’asse perpendicolare al piano U = 0.

Ciò posto, siamo in grado di dimostrare assai semplicemente quattro teoremi generali, sulle superficie congiunte, correlativi di quelli che l’illustre Chasles diede recentemente sulle superficie omofocali².

13. Posto:

A’= A + λS,     B = μU + A,     B’ = μ’U + A’,

avremo:

μ’B — μB’ = μ’A — μA’,     B — B’ = (μ — μ’)U — λS;

dunque:

Teorema 1.º Date due superficie A, A’ congiunte rispetto ad un punto O, ed un’altra superficie qualunque U, se per le due curve (UA), (UA’) si fanno passare rispettivamente due superficie B, B’; per la curva (BB’) si potrà far passare una superficie congiunta ad A, A’ ed un’altra superficie congiunta ad U, rispetto allo stesso punto O.

Se la superficie U riducesi al sistema di due piani u, u’, si ha:

a) Date due superficie A, A’ congiunte rispetto ad un punto O, segate da due piani u, u’, se si fa passare una superficie B per le sezioni di A ed una superficie B’ per le sezioni di A’; per la curva (BB’) si potrà far passare una superficie congiunta con A, A’ rispetto ad O, ed un’altra superficie di cui O sia un punto focale ed u, u’ i relativi piani direttori.

I piani u, u’ passino per O:

b) Date due superficie A, A’ congiunte rispetto ad un punto O, segate da due piani u, u’ passanti per O; se si fa passare una superficie B per le sezioni di A ed una superficie B’ per le sezioni di A’; per la curva (BB’) si potrà far passare una superficie congiunta con A, A’ rispetto ad O, ed un cono (di second’ordine) di cui O sia il vertice ed u, u’ i piani ciclici.

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1. Vedi la Memoria di Amiot sulle superficie di second’ordine (Liouville t. 8).
2. Comptes rendus, 1860, n. 24.

Cremona, tomo I.

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