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| sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. | 161 |
Il cono assintotico di quest’iperboloide ha tre generatrici rispettivamente parallele agli assi delle superficie date.
Se la retta l si muove in un piano P, il relativo iperboloide passa costantemente per una cubica gobba che contiene il centro delle date superficie ed ha gli assintoti, rispettivamente, paralleli agli assi di queste.
Questa cubica gobba è anche il luogo dei poli del piano P relativi alle superficie congiunte. Essa incontra il piano ne’ punti in cui questo tocca tre di quelle superficie.
Tale curva ha tre rami, ciascuno dotato di due assintoti1. Il ramo che passa pel centro delle superficie congiunte ha gli assintoti, rispettivamente paralleli alle generatrici dei cilindri congiunti immaginario ed ellittico. La porzione di esso ramo che dal centro si stende accostandosi all’assintoto parallelo al cilindro ellittico contiene i poli (del piano P) relativi agli ellissoidi del dato sistema. L’altra porzione dello stesso ramo contiene i poli relativi a superficie immaginarie.
Il secondo ramo, che ha gli assintoti rispettivamente paralleli alle generatrici de’ cilindri congiunti ellittico ed iperbolico, contiene i poli relativi agli iperboloidi ad una falda.
Il terzo ramo, che ha gli assintoti rispettivamente paralleli alle generatrici de’ cilindri congiunti iperbolico ed immaginario, contiene i poli relativi agli iperboloidi a due falde.
34. Una retta arbitraria incontra un sistema di superficie congiunte in punti formanti un’involuzione. Dunque una retta non può toccare più che due superficie congiunte ad una data.
I segmenti determinati da più superficie congiunte sopra una retta trasversale sono veduti dal centro di queste sotto angoli che hanno le stesse bisettrici. Le bisettrici passano pei punti in cui la trasversale tocca due superficie congiunte, cioè pei punti doppi dell’involuzione.
Questo teorema comprende in sè il secondo enunciato del n. 23.
Le polonormali relative ai punti in cui una trasversale arbitraria incontra un fascio di superficie congiunte formano un iperboloide passante pel centro di queste superficie.
Se la trasversale è polonormale per una delle superficie congiunte, l’iperboloide diviene un cono, e i piani tangenti condotti per i punti d’incontro della trasversale inviluppano un cono di quarta classe. E se la trasversale è parallela ad un asse delle date superficie, i piani tangenti formano un cono di second’ordine, il cui vertice è nel piano perpendicolare a quell’asse.
Tutte le polonormali che si ponno condurre in un dato piano trasversale ad un fascio
- ↑ Vedi la mia memoria: Sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe (Journal für die reine und angewandte Mathematik, tom. 58).
| Cremona, tomo I. | 11 |
