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| 162 | sulle coniche e sulle superficie di second’ordine congiunte. |
di superficie congiunte inviluppano una conica toccata dai piani principali delle superficie date. I punti delle superficie medesime, a cui corrispondono quelle polonormali, sono nella cubica gobba, luogo dei poli del piano trasversale.
Se il piano trasversale è parallelo ad un asse principale delle superficie congiunte, le polonormali in esso situate si dividono in due gruppi. Le polonormali del primo gruppo sono parallele all’asse principale, e i punti delle superficie congiunte, cui esse corrispondono, sono in un’iperbole equilatera, posta nel piano principale perpendicolare a quell’asse, passante pel centro delle superficie date, ed avente gli assintoti paralleli ai due assi principali che sono in quel piano. Le polonormali del secondo gruppo passano per uno stesso punto posto nel piano principale (ov’è l’iperbole equilatera) e corrispondono a punti delle superficie congiunte posti sopra una retta perpendicolare al piano medesimo.
Tutte le polonormali che si ponno condurre da un punto dato ad un fascio di superficie congiunte formano un cono di second’ordine. I punti delle superficie medesime, a cui corrispondono quelle polonormali, sono nella retta, per la quale passano i piani polari del punto dato.
35. Finisco questa memoria, notando la seguente proprietà:
Date più superficie aventi gli stessi cilindri congiunti, uno stesso piano principale, quello cioè perpendicolare al cilindro iperbolico, contiene gli ombelichi di tutte quelle superficie: quattro per ciascuna, a due a due opposti al centro. Il luogo geometrico di due ombelichi opposti è una linea del terzo ordine, per la quale il centro è un flesso e gli assi della sezione principale sono due assintoti; mentre il terzo assintoto, passante anch’esso pel centro è la traccia d’un piano ciclico: la tangente al flesso è perpendicolare a questa traccia. La curva consta di tre parti, cioè di due eguali rami iperbolici situati in due angoli opposti degli assi e di un terzo ramo, contenente i flessi, e avvicinantesi da bande opposte al terzo assintoto.
Il luogo dell’altra coppia di ombelichi è un’altra curva, analoga alla precedente, ma diversamente situata, essendo il suo terzo assintoto la traccia dell’altro piano ciclico; i primi due assintoti e il flesso ai centro le sono comuni. I suoi rami iperbolici giacciono negli altri due angoli opposti degli assi.
