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2.

INTORNO AD UN TEOREMA DI ABEL.

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Annali di Scienze matematiche e fisiche compilati da B. Tortolini, tomo settimo (1856), pp. 99-105.

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Il teorema del quale questa breve nota contiene una dimostrazione, venne enunciato per la prima volta da Abel, in una lettera diretta a Legendre¹, e in seguito dimostrato dal signor Broch².

Lemma 1.º Siano a₀, a₁, ... a_{n— 1} n quantità qualsivogliano; α una radice primitiva dell’equazione xⁿ — 1 = 0; e

θ_r = a₀ + a₁ α_r + a₂ α_r² .... + a_{n— 1} α_r^{n — 1}

supposto

1)

αr = αr.

Si moltiplichino fra loro i due determinanti

D = ${\begin{vmatrix}a_{0}&a_{1}&\cdots &a_{\mathrm {n} -1}\\a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\a_{\mathrm {n} -1}&a_{0}&\cdots &a_{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$,     Δ = ${\begin{vmatrix}1&1&1&\cdots &1\\1&\alpha _{1}&\alpha _{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}\\1&\alpha _{1}^{2}&\alpha _{2}^{2}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{2}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\1&\alpha _{1}^{\mathrm {n} -1}&\alpha _{2}^{\mathrm {n} -1}&\cdots &\alpha _{\mathrm {n} -1}^{\mathrm {n} -1}\end{vmatrix}}$.

Eseguendo la moltiplicazione per linee, ed avendo riguardo alla (1), le colonne del

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1. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 6. [Oeuvres de N. H. Abel, nouv. edit., vol. II, p. 276].
2. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 20.