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Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/19

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intorno ad un teorema di abel. 5

determinante prodotto riescono ordinatamente divisibili per θn, θ1, ... θn —  1; e si ha

DΔ = θ1 θ2 ... θn ,


ma il determinante che entra nel secondo membro di questa equazione è evidentemente eguale a ; dunque

θ1 θ2 ... θn = D.2


Il teorema espresso in questa formola fu enunciato per la prima volta dal signor Spottiswoode1; la dimostrazione è del prof. Brioschi, mio valente maestro.

Lemma 2.º Si considerino le a0, a1, ... an— 1 come funzioni di una stessa variabile, derivando rispetto ad essa il determinante D, si ha

D' = D1 + D2 + ... + Dn


ove Dr è il determinante che si ottiene dal determinante D, sostituendo agli elementi della r esima colonna le loro derivate. Nel determinante Dr dispongansi le linee (nr + 2) esima, (nr + 3) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (nr + 1) esima in modo che riescano ordinatamente prima, seconda, ... (r — 1) esima, r esima, (r + 1) esima, ... n esima; indi si dispongano le colonne r esima, (r + 1) esima, ... n esima, prima, seconda, ... (r — 1) esima per modo che divengano prima, seconda, ... (nr + 1) esima, (nr + 2) esima, (nr + 3) esima, ... n esima; si avrà

Dr = D1


dunque

D' = n D1 = n D2 = ... = n Dn.

Lemma 3.º Sia

H =


  1. Crelle, Journal für die Mathematik, Band 51.