Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/20

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6 intorno ad un teorema di abel.

Si può dimostrare che l’espressione è razionale3 rispetto a dn. Infatti, dopo aver divisa la seconda linea del determinante H per d, se si moltiplicano le colonne seconda, terza, ... ultima per dn, dn — 1, ... d2 e poi si dividono le linee terza, quarta, ... ultima per d2, d3, ... dn — 1, si ottiene

.


Teorema di Abel. Sia F(x) = 0 l’equazione risultante dalla eliminazione della y fra le due equazioni algebriche

yn — R (x) = 0,       q0 + q1 y + q2 y2 + ... + qn — 1 yn — 1 = 0


ove R (x) sia una funzione razionale ed intera di x; q0, q1, ... qn — 1 n funzioni razionali ed intere della stessa x, nelle quali però i coefficienti delle potenze della variabile siano quantità indeterminate, supposte funzioni di un’arbitraria t. Siano α1, α2, ... αn e n radici dell’equazione xn —  1 = 0, e facciasi d = . Pel lemma 1.º si ha

F (x) = .


Moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn — 1, ed aggiungendo agli elementi della prima colonna quelli della seconda, della terza, ... dell’ultima moltiplicati per αr, αr2, ... αrn — 1, e moltiplicando quindi di nuovo le linee prima, seconda, ... ultima per αrn, αrn — 1, ... αr si ha

2)
F (x) = θr