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intorno ad un teorema di abel.

7

posto

3)	θr = q0 + q1 αr d + q2 αr2 d2 + ... + qn— 1 αrn— 1 dn— 1.

Sia x una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F (x) = 0, e sia θ_r il fattore di F (x) che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a t la equazione identica F (x) = 0, si ha (lemma 2.º)

F' (x) ${\frac {dx}{dt}}$ + n ${\begin{vmatrix}h_{0}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\h_{1}&q_{2}d^{2}&q_{3}d^{3}&\cdots &q_{0}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\h_{\mathrm {n} -1}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\end{vmatrix}}$ = 0

ove h_s = ${\frac {dq_{s}}{dt}}$ d²; ${\frac {dq_{s}}{dt}}$ indica la derivata di q_s, rispetto alla sola t implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per α_r, α_r², ... α_r^{n— 1} ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per α_r^{n— 1} quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per α_r^{n— 2}, α_r^{n— 3}, ... α_r; avendo riguardo all’equazione identica θ_r = 0, si ha

4)	F' (x) ${\frac {dx}{dt}}$ — nαrH = 0

posto

H = (— 1)ⁿ ${\begin{vmatrix}h_{0}&q_{0}&q_{1}d&\cdots &q_{\mathrm {n} -2}d^{\mathrm {n} -2}\\h_{1}&q_{1}d&q_{2}d^{2}&\cdots &q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}\\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\h_{\mathrm {n} -1}&q_{\mathrm {n} -1}d^{\mathrm {n} -1}&q_{0}&\cdots &q_{\mathrm {n} -3}d^{\mathrm {n} -3}\end{vmatrix}}$.

Sia a una quantità costante, f (x) una funzione razionale ed intera di x; e si moltiplichi la (4) per

${\frac {f(x)}{\alpha _{\mathrm {r} }(x-a)d\mathrm {F} '(x)}}$,

si avrà

${\frac {1}{\alpha _{\mathrm {r} }}}{\frac {f(x)}{(x-a)d}}{\frac {dx}{dt}}={\frac {n\mathrm {H} f(x)}{(x-a)d\mathrm {F} '(x)}}$.

In questa equazione cambio la x successivamente in tutte le radici della F (x) = 0; sommando i risultati ed osservando essere ${\frac {\mathrm {H} }{d}}$ una funzione razionale³ rispetto ad x