Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/21

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intorno ad un teorema di abel. 7

posto

3)
θr = q0 + q1 αr d + q2 αr2 d2 + ... + qn— 1 αrn— 1 dn— 1.


Sia x una qualunque delle μ radici, supposte disuguali, dell’equazione F (x) = 0, e sia θr il fattore di F (x) che è annullato da quella radice. Derivando rispetto a t la equazione identica F (x) = 0, si ha (lemma 2.º)

F' (x) + n = 0


ove hs = d2; indica la derivata di qs, rispetto alla sola t implicita ne’ coefficienti. Trasformisi il determinante nell’equazione che precede, moltiplicando le linee seconda, terza, ... ultima per αr, αr2, ... αrn— 1 ed aggiungendo agli elementi dell’ultima colonna moltiplicati per αrn— 1 quelli della penultima, terz’ultima, ... seconda moltiplicati per αrn— 2, αrn— 3, ... αr; avendo riguardo all’equazione identica θr = 0, si ha

4)
F' (x) nαrH = 0


posto

H = (— 1)n .


Sia a una quantità costante, f (x) una funzione razionale ed intera di x; e si moltiplichi la (4) per

,


si avrà

.


In questa equazione cambio la x successivamente in tutte le radici della F (x) = 0; sommando i risultati ed osservando essere una funzione razionale3 rispetto ad x