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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

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condo che le quantità:

${\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{\delta }},$     ${\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{\delta _{1}}}$

abbiano segni contrari o eguali.

È ovvio che per dedurre le proprietà delle tangenti coniugate di Dupin da quelle dimostrate in questa nota, basta porre ${\frac {1}{\Delta }}$ = 0.

6. Dati i coseni (α, β, γ) della direzione di una retta tangente alla superficie (1), proponiamoci di trovare i coseni (α₁, β₁, γ₁) della tangente sferoconiugata.

Indicando con a, b, c i coseni degli angoli che la normale alla superficie (1) nel punto (x, y, z) fa cogli assi, si ha:

$a{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}=p,$     $b{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}=q,$     $c{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}=r,$

e derivando rispetto ad s, arco di una linea qualsivoglia tracciata sulla superficie data e toccata dalla retta (α, β, γ) nel punto (x, y, z):

$a({\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}})'+a'{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}=l\alpha +n_{1}\beta +m_{1}\gamma$ $b({\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}})'+b'{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}=n_{1}\alpha +m\beta +l_{1}\gamma$$c({\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}})'+c'{\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}=m_{1}\alpha +l_{1}\beta +n\gamma .$

Si moltiplichino queste equazioni ordinatamente per α₁, β₁, γ₁ e si sommino i risultati:

$(a'\alpha _{1}+b'\beta _{1}+c'\gamma _{1}){\sqrt {p^{2}+q^{2}+r^{2}}}=l\alpha \alpha _{1}+l_{1}(\beta \gamma _{1}+\gamma \beta _{1})$$+m\beta \beta _{1}+m_{1}(\gamma \alpha _{1}+\alpha \gamma _{1})+n\gamma \gamma _{1}+n_{1}(\alpha \beta _{1}+\beta \alpha _{1}),$

quindi la (12) potrà scriversi così:

α₁ (α — Δa’) + β₁ (β — Δb’) + γ₁ (γ — Δc’) = 0.

Da questa equazione e dalle:

aα₁ + bβ₁ + cγ₁ = 0,     α₁² + β₁² + γ₁² = 1

si ricava:

$\alpha _{1}={\frac {b\gamma -c\beta -\Delta (bc'-cb')}{h}},$     $\beta _{1}={\frac {c\alpha -a\gamma -\Delta (ca'-ac')}{h}},$$\gamma _{1}={\frac {a\beta -b\alpha -\Delta (ab'-ba')}{h}}$