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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc.

ove:

h² = 1 + Δ² (a’² + b’² + c’²) — 2Δ (α’a + b’β + c’γ).

Ora, per una formola di Ossian Bonnet¹ si ha:

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}={\frac {\cos ^{2}\theta }{\delta ^{2}}}+{\frac {\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\delta _{1}^{2}}}$

ossia, introducendo il raggio d mediante il noto teorema euleriano:

$a'^{2}+b'^{2}+c'^{2}={\frac {\delta +\delta _{1}-d}{\delta \delta _{1}d}}.$

Inoltre si ha:

$a'\alpha +b'\beta +c'\gamma ={\frac {1}{d}},$

onde:

${\frac {h^{2}}{\Delta ^{2}}}=\left({\frac {1}{\Delta }}-{\frac {1}{d}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{\delta }}-{\frac {1}{d}}\right)\left({\frac {1}{\delta _{1}}}-{\frac {1}{d}}\right).$

I coseni degli angoli che fa cogli assi la tangente coniugata ordinaria di quella data per mezzo de’ coseni (α, β, γ) sono proporzionali alle quantità:

bc’ — cb’,     ca’ — ac’,     ab’ — ba’,

dunque, perchè la tangente sferoconiugata coincida colla coniugata dupiniana, dev’essere:

${\frac {b\gamma -c\beta }{bc'-cb'}}={\frac {c\alpha -a\gamma }{ca'-ac'}}={\frac {a\beta -b\alpha }{ab'-ba'}},$

da cui si hanno le:

α : β : γ = a’ : b’ : c’

che sono le equazioni di una linea di curvatura, date dal prof. Brioschi nella sua bella memoria sulle proprietà di una linea tracciata sopra una superficie². Dunque:

Le sole linee di curvatura sono simultaneamente coniugate ordinarie e sferoconiugate.

7. Il centro della curvatura ombelicale per la superficie inviluppata (3) è il punto che ha per coordinate:

u = x — Δa,     v = y — Δb,     w = z — Δc,

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1. Journal de l’École Polytechnique, 32^e cahier, pag. 9.
2. Annali di scienze matematiche e fisiche. Roma 1854.