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intorno ad una proprietà delle superficie curve, ecc. |
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ove:
h2 = 1 + Δ2 (a’2 + b’2 + c’2) — 2Δ (α’a + b’β + c’γ).
Ora, per una formola di Ossian Bonnet1 si ha:
ossia, introducendo il raggio d mediante il noto teorema euleriano:
Inoltre si ha:
onde:
I coseni degli angoli che fa cogli assi la tangente coniugata ordinaria di quella data per mezzo de’ coseni (α, β, γ) sono proporzionali alle quantità:
bc’ — cb’, ca’ — ac’, ab’ — ba’,
dunque, perchè la tangente sferoconiugata coincida colla coniugata dupiniana, dev’essere:
da cui si hanno le:
α : β : γ = a’ : b’ : c’
che sono le equazioni di una linea di curvatura, date dal prof. Brioschi nella sua bella memoria sulle proprietà di una linea tracciata sopra una superficie2. Dunque:
Le sole linee di curvatura sono simultaneamente coniugate ordinarie e sferoconiugate.
7. Il centro della curvatura ombelicale per la superficie inviluppata (3) è il punto che ha per coordinate:
u = x — Δa, v = y — Δb, w = z — Δc,
- ↑ Journal de l’École Polytechnique, 32e cahier, pag. 9.
- ↑ Annali di scienze matematiche e fisiche. Roma 1854.