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| 180 | considerazioni di storia della geometria ecc. |
Dott. Baltzer1 contro i trattati di geometria elementare di Schlömilch e Snell, l’ultimo de’ quali fa un completo divorzio fra la planimetria rettilinea (com’ei la chiama) e la dottrina del cerchio, e giunge a dire: Die Einmischung der Kreislehre in die Planimetrie erscheint uns ganz überflüssig und verkehrt2.
È però giustizia osservare che l’Amiot fa sempre uso di dimostrazioni, contro le quali non si ponno elevare seri dubbi. Certo che esse non sarebbero tutte accettate dal cautissimo Euclide, il quale, a cagion d’esempio, non avrebbe parlato (testo, pag. 14) della bisettrice di un angolo senz’aver prima dimostrato che un angolo si può dividere per metà. Ammettendo tacitamente la possibilità della bisezione di un angolo, l’autore dà una dimostrazione assai semplice del teorema: “Se due triangoli hanno due lati rispettivamente eguali e gli angoli compresi fra questi lati diseguali, il lato opposto al maggiore de’ due angoli è maggiore di quello che è opposto all’altro angolo„ (pag. 24). Lo stesso può ripetersi per altre proposizioni. L’ordinamento di Euclide diviene necessario quando d’alcuna cosa non si voglia parlare senz’averne prima dimostrata la possibilità dell’esistenza: ragione che ha indotto molti a dargli la preferenza.
4. Rispetto alla teorica delle parallele è noto che Euclide l’ha fondata sopra una proposizione (postulato) ammessa senza dimostrazione; e si sa del pari che invece del postulato d’Euclide può assumersi come tale alcun’altra delle proposizioni di detta teorica, e quindi dimostrar tutte le altre. Molti autori si sono sforzati, ma inutilmente, di dimostrare tutte quelle proposizioni, senz’ammettere alcun postulato. Gergonne ha proposto di assumere come evidente la proposizione semplicissima:
Per un punto dato fuori di una retta data non può condursi che una sola retta parallela alla data, come quella che sembra più facile a concepirsi di qualunque altra.
Euclide però non poteva assumere tale postulato per ragioni dette di sopra. Il consiglio di Gergonne fu seguito dall’Amiot, non in questa, ma in altra sua opera elementare di geometria3. Nel libro di cui qui è discorso il postulato di Gergonne è dimostrato come teorema (pag. 16), dopo aver ammesso come evidente che “se due rette sono, l’una perpendicolare e l’altra obliqua sopra una terza retta, quelle due prolungate s’incontreranno„. Il traduttore nota essere codesto il famoso quinto postulato d’Euclide: il che non è del tutto esatto, perchè l’enunciato del quinto postulato è il seguente:
- ↑ Die Gleichheit und die Aehnlichkeit der Figuren und die Aehnlichkeit derselben, von Doctor Richard Baltzer, Dresden, 1852.
- ↑ Lehrbuch der gradlinigten Planimetrie von Karl Snell. Zweite Auflage. Leipzig 1857.
- ↑ Élémens de géométrie, rédigés d’après les nouveaux programmes, etc. par M. A. Amiot, Paris 1855.
