Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/228

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214 intorno ad un’operetta di giovanni ceva.


quindi:

AB . AC : AB’ . AC’ = (a + b)(a + c): bc


e per conseguenza:

11)
ABC : AB’C’ = (a + b)(a + c): bc.


I triangoli OBC, OB’C’, avendo un angolo eguale, danno analogamente:

OBC : OB’C’ = OB . OC : OB’ . OC’;


ma moltiplicando fra loro la seconda e la terza delle (3) si ha:

OB . OC : OB’. OC’ = (a + b)(a + c) : bc


quindi:

12)
OBC : OB’C’ = (a + b)(a + c) : bc.


Dal confronto delle (11) e (12) concludiamo pertanto:

ABC : AB’C’ = OBC : OB’C’


formola esprimente un teorema. Analogamente si trova:

ABC : A’BC’ = OCA : OC’A’
ABC : A’B’C = OAB : OA’B’


le quali danno facilmente le due seguenti eguaglianze:

AB’C’ . OBC + BC’A’ . OCA + CA’B’. OAB = ABC . A’B’C’


esprimenti due eleganti teoremi.

Dal suo primo elemento il Ceva deduce un teorema che certamente egli ignorava essere antico. Dalle (1), (2) e (3) si hanno le proporzioni:

AC’ : BC’ = b : a,     BO : B’O = c + a : b,     B’C : AC = a : c + a


le quali moltiplicate fra loro somministrano:

AC’ . BO . B’C = BC’ . B’O . AC.


Questa formola applicata al triangolo ABB’ segato dalla trasversale CC’ dà il teorema: