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| intorno ad un’operetta di giovanni ceva. | 213 |
a + b + c : b + c = AA’ : AO
a + b + c : c + a = BB’ : BO
a + b + c : a + b = CC’ : CO
e però:
| 10) |
Le equazioni (9) e (10) esprimono altrettanti teoremi, ossia sono altrettante forme del teorema di Ceva:
Dai vertici di un triangolo si tirino tre rette passanti per uno stesso punto e terminate ai lati opposti. Ciascuna di queste tre rette è divisa dal punto comune in due segmenti, l’uno adiacente a un vertice, l’altro adiacente al lato opposto. La somma de’ rapporti de’ primi segmenti alle intere rette è eguale a 2. La somma de’ rapporti degli altri segmenti alle intere rette è eguale all’unità.
Continuando ad occuparci della figura 1.ª osserviamo che i triangoli BA’O, AB’O hanno un angolo eguale, e però per un noto teorema (Geometria del Legendre, lib. III, prop. 24) si avrà:
BA’O : AB’O = BO . A’O : AO . B’O
analogamente:
CB’O : BC’O = CO . B’O: BO . C’O
AC’O : CA’O = AO . C’O : CO . A’O.
Queste proporzioni moltiplicate fra loro danno:
BA’O . CB’O . AC’O = AB’O . BC’O . CA’O
ossia:
Se dai vertici di un triangolo si tirano tre rette passanti per uno stesso punto, esse danno luogo a sei nuovi triangoli tali, che il prodotto delle aree di tre non consecutivi è eguale al prodotto delle aree degli altri tre.
Se nella fig. 1.ª si tira la retta B’C’ i triangoli ABC, AB’C’ avendo un angolo comune, danno:
ABC : AB’C’ = AB . AC : AB’. AC’.
Ora dalle (1) si ha:
AB : AC’ = a + b : b
AC : AB’ = a + c : c
