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| 212 | intorno ad un’operetta di giovanni ceva. |
si ha la:
CK . BF . DL . AH = AK . CF . BL . DH.
Il che prova che la proprietà espressa dal teorema superiore (elemento quinto) sussiste simultaneamente pei tre quadrigoni ABCD, ACDB, ACBD aventi i vertici ne’ medesimi quattro punti A, B, C, D.
Se nella fig. 2.ª si riuniscono in un solo i punti B, F, C si ha l’elemento terzo.
Se nella fig. 3.ª si suppone che il punto I cada nell’intersezione dei lati AB, CD si ha l’elemento quarto.
Nelle numerose proposizioni che tengono dietro si espongono svariate proprietà che sono tutti corollari de’ citati elementi. Parecchie di tali proposizioni sono problemi ne’ quali, supposti conosciuti alcuni de’ rapporti fra i segmenti rettilinei che entrano nella figura di un elemento, si cercano tutti gli altri.
Nel secondo elemento, se si moltiplicano fra loro, termine a termine, le proporzioni:
b : c = CA’ : BA’, c : a = AB’ : CB’, a : b = BC’ : AC’
si ha l’eguaglianza:
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CA’ . AB’ . BC’ = BA’ . CB’ . AC’
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ossia;
Se dai vertici di un triangolo si conducono tre rette passanti per uno stesso punto, esse determinano sui lati opposti sei segmenti tali, che il prodotto di tre non aventi termini comuni è eguale al prodotto degli altri tre.
Questo bel teorema, ora ben noto come uno de’ principali nella teorica delle trasversali, è interamente dovuto al nostro Ceva. Prima che il signor Chasles gliene rivendicasse il merito, lo si attribuiva a Giovanni Bernoulli. Noi lo chiameremo il teorema di Ceva.
Dalle (3) si ricava:
a + b + c : a = AA’ : A’O
a + b + c : b = BB’ : B’O
a + b + c : c = CC’ : C’O
da cui:
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