Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/225

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intorno ad un’operetta di giovanni ceva. 211


dunque si avrà:

a : d = DH : AH


il che dimostra la sussistenza della (6). Le relazioni (5) e (6) esprimono che E è il centro di gravita de’ pesi a, b, F è il centro de’ pesi b, c, G è il centro de’ pesi c, d, ed H è il centro de’ pesi d, a. Dunque il centro de’ quattro pesi a, b, c, d dovrà trovarsi tanto nella EG che nella FH; ossia queste due rette devono giacere in uno stessoFig 2 Fig 3Fig 2 Fig 3 piano e segarsi nel punto I centro de’ quattro pesi suddetti. Dall’essere I il centro de’ due pesi a + d, b + c applicati in H, F, ed anche il centro de’ due pesi a + b, c + d applicati in E, G seguono evidentemente le relazioni (7). A ciò che precede possiamo aggiungere quanto segue. Sulle rette AC, BD diagonali del quadrigono prendansi due punti K, L per modo che sia:

a : c = CK : AK,     b : d = DL : BL


la retta KL passerà anch’essa pel punto I e si avrà:

a + c : b + d = LI : KI.


Moltiplicando fra loro, termine a termine, le proporzioni:

a : c = CK : AK,     c : d = DG : CG,     d : b = BL : DL,     b : a = AE : BE


si ottiene l’eguaglianza:

CK . DG . BL. AE = AK . CG . DL . BE;


così pure dalle proporzioni:

a : c = CK : AK,     c : b = BF : CF,     b : d = DL : BL,     d : a = AH : DH