Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/230

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216 intorno ad un’operetta di giovanni ceva.


abbia:


avremo quindi:

BA’ : CA’ = c : b = AB . cos B : AC . cos C.


Ma AB . cosB e AC . cos C sono i valori de’ segmenti in cui il lato BC è diviso dalla perpendicolare condotta su di esso dal vertice A; dunque AA’ è perpendicolare a BC. Così BB’ e CC’ sono perpendicolari rispettivamente a CA ed AB. Concludiamo pertanto che:

Le tre altezze di un triangolo passano per uno stesso punto.

Dallo stesso secondo elemento l’autore ricava anche teoremi della geometria a tre dimensioni. Basti addurre il seguente esempio (lib. I, prop. 23):

Sia OABC un tetraedro (fig. 5.ª); sugli spigoli OA, OB, OC siano presi ad arbitrio i punti a’, b’, c’; si tirino le rette Bc’, Cb’ concorrenti in a; Ca’, Ac’ concorrenti in b;Fig 5Fig 5 Ab’, Ba’, concorrenti in c; indi si tirino le Oa, Ob, Oc, che incontrino BC, CA, AB rispettivamente in A’, B’, C’.

Si dichiara che le rette AA’, BB’, CC’ passano per uno stesso punto o, e che le Aa, Bb, Cc, Oo, A’a’, B’b’, C’c’, passano pure per uno stesso punto F.

Dimostrazione. Ai vertici A, B, C, O del tetraedro s’intendano applicati quattro pesi α, β, γ, δ in modo che sia:

α : δ = Oa’ : Aa’,     β : δ = Ob’ : Bb’,     γ : δ = Oc’ : Cc’,


allora, per l’elemento secondo, A’ sarà il centro de’ pesi β, γ, B’ il centro de’ pesi γ, α, e C’ quello de’ pesi α, β: dunque le rette AA’, BB’, CC’ concorreranno nel centro o de’ pesi α, β, γ. Essendo del pari a, b, c i centri delle tre terne di pesi βγδ, γαδ, αβδ, ne segue che le rette Aa, Bb, Cc, Oo devono incrociarsi nel centro F de’ quattro pesi α, β, γ, δ. D’altra parte a’ è il centro de’ pesi α, δ ed A’ quello de’ pesi β, γ; dunque la retta A’a’ dovrà anch’essa passare per F. Lo stesso vale per le rette B’b’, C’c’.

Se i quattro pesi α, β, γ, δ sono eguali, il teorema precedente somministra le notissime proprietà:

Le rette che congiungono i punti medi degli spigoli opposti di un tetraedro passano