 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
24.
SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES LIGNES GAUCHES DE TROISIÈME ORDRE ET CLASSE.
Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 58 (1861), pp. 138-151.
I.
1. Je suppose que l’on ait deux séries projectives de points, l’une dans une droite R, l’autre dans une conique plane C, situées d’une maniere tout à fait arbitraire dans l’espace. On demande de connaître la surface lieu de la droite qui joint deux points homologues des formes projectives données.
Pour établir la classe de cette surface, je fais usage des considérations employées par M. Schröter dans un mémoire inséré dans ce journal (tome 54). Par un point O fixé arbitrairement sur la conique je tire des droites aux divers points de cette courbe; ainsi l’on obtiendra un faisceau de droites, perspectif à la conique. Par une droite arbitraire S menons un faisceau de plans, perspectif à la droite donnée. Les deux faisceaux étant projectifs, l’intersection des élémens homologues donnera une conique K située dans le plan de la conique donnée, et passant par le point O et par la trace de S. La conique K coupera la conique C en trois autres points, qui avec la droite S donnent lieu a trois plans; et il est bien évident que ces plans contiennent chacun une génératrice de la surface cherchée, et sont les seuls qui passent par S et qui aient cette propriété.
Donc la surface est de la troisième classe, et par conséquent du troisième ordre; car toute surface réglée (non développable) a son ordre égal à sa classe1.
Chaque plan mené par la directrice rectiligne donnée R rencontre la conique C en deux points, done il contient deux génératrices de la surface: le lieu de l’intersection de ces deux génératrices est la droite double (ligne de striction) de la surface.
