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| sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. | 229 |
Pour deuxième application, proposons nous de construire une cubique gauche qui s’appuie sur cinq droites données A1, A2, A3, A4, A530. Elle sera évidemment l’intersection des hyperboloïdes déterminés par les deux ternes de droites: A1A2A3, A3A4A5 qui ont une droite commune A3. Cette construction est aussi une conséquence du théorème connu: on peut construire cinq faisceaux homographiques de plans, dont les axes soient cinq droites données, et où cinq plans homologues passent toujours par un même point.
On donne quatre faisceaux homographiques de plans, dont les axes soient les droites A1, A2, A3, A4. On demande combien de fois quatre plans homologues se coupent dans un même point1? Les faisceaux projectifs A1 et A2; A1 et A3; A1 et A4 donnent trois hyperboloïdes qui ont une génératrice commune A1. Ces hyperboloïdes, abstraction faite de cette génératrice, s’entrecoupent en quatre points seulement2 et il est bien évident que par chacun de ces points passent quatre plans homologues des faisceaux données.
On démontre analoguement qu’il y a généralement quatre plans, chacun contenant quatre points homologues de quatre divisions homographiques sur quatre droites données3.
Si les quatre faces d’un tétraèdre mobile tournent autour de quatre droites fixes A, B, C, D, et que les côtés de la première face s’appuient sur trois autres droites fixes L, M, N, le sommet opposé a cette face engendrera une courbe qu’on demande de connaître. La première face du tétraèdre, en tournant autour de A, divise homographiquement les droites L, M, N; soient l, m, n trois points homologues de ces divisions. Il en suit que lB, mC, nD sont trois plans homologues de trois faisceaux projectifs; done leur point d’intersection engendre une cubique gauche, qui s’appuie en deux points sur chacune des droites L, M, N4.
Ayant dans l’espace trois points a, b, c et trois plans α, β, γ, si autour d’une droite fixe on fait tourner un plan transversal qui coupera les trois plans donnés suivant trois droites A, B, C, les plans Aa, Ab, Cc se couperont en un point, dont on demande le lieu géométrique. Soient a’, b’, c’ les points où la droite donnée rencontre les plans α, β, γ. Ces plans contiennent trois faisceaux projectifs de droites, dont a’, b’, c’ sont les centres, et A, B, C sont trois rayons homologues. Donc les droites aa’, bb’, cc’ sont les axes de trois faisceaux projectifs de plans, dont Aa, Bb, Cc sont trois élémens
