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| sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe. | 233 |
Le plan osculateur de l’hyperbole gauche en un point du plan des centres, et le plan qui passe par ce point et par l’asymptote correspondante, s’entrecoupent suivant une droite qui est un diamètre de la conique intersection du plan osculateur avec le cylindre hyperbolique qui contient l’asymptote nommée.
VI.
15. On sait que le point de concours et les points de contact de trois plans osculateurs d’une cubique gauche sont en un même plan1. Le point de concours a reçu le nom de foyer du plan. Tous les plans qui passent par une même droite ont leurs foyers sur une autre droite, et tous les plans qui passent par cette deuxième droite ont leurs foyers sur la première. Deux droites telles que les points de l’une soient les foyers des plans qui passent par l’autre ont reçu la denomination de droites réciproques. Une droite qui soit l’intersection (réelle ou idéelle) de deux plans osculateurs et la corde (réelle ou idéelle) qui joint les points de contact sont des droites reciproques.
On sait que dans un plan quelconque il n’y a qu’une droite qui soit intersection de deux plans osculateurs2, et par un point quelconque on ne peut mener qu’une corde de la cubique gauche3.
Concevons un plan qui coupe un autre plan contenant une conique et cherchons le pôle de la droite intersection des deux plans par rapport à la conique; nous dirons que ce point est le pôle du premier plan par rapport à la conique.
Cela premis, les pôles d’un plan quelconque par rapport à toutes les coniques inscrites dans la développable, dont une cubique gauche donnée est l’arête de rebroussement, sont tous dans une conique, dont le plan a tous ses pôles, par rapport aux mêmes coniques inscrites, dans une autre conique située dans le premier plan.
J’appelle conjoints deux plans tels que l’un contient les pôles de l’autre par rapport aux coniques inscrites dans la développable, et conjointes les coniques lieux des pôles de deux plans conjoints.
Deux plans conjoints s’entrecoupent suivant une droite qui est toujours l’intersection (réelle ou idéelle) de deux plans osculateurs, et par conséquent ils ont leurs foyers sur la droite qui passe par les points de contact.
Il suit de là que:
