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sur quelques propriétés des lignes gauches de troisième ordre et classe.

Toute droite qui soit l’intersection de deux plans osculateurs est l’axe d’un faisceau de plans conjoints deux à deux; ces plans forment une involution dont les élémens doubles sont les plans osculateurs.

Toute corde de la cubique gauche contient les foyers d’un faisceau de plans conjoints deux à deux; ces foyers forment une involution dont les élémens doubles sont les points de la cubique.

16. Toutes les coniques conjointes qui appartiennent à un même faisceau sont situées sur un même hyperboloïde à une nappe; et le lieu géométrique de leurs centres est une conique dont le plan passe par la droite des foyers.

Il est facile d’établir aussi l’espèce de ces coniques conjointes selon les divers cas à considérer. Par exemple, pour la parabole gauche on a le théorème qui suit:

Toutes les coniques conjointes qui appartiennent à un même faisceau sont des hyperboles, a l’exception d’une seule parabole dont le plan passe par le point central de l’involution des foyers. Les centres de ces hyperboles sont dans une parabole. Les cordes de cette parabole qui joignent deux à deux les centres des coniques conjointes passent toutes par un même point. Les asymptotes des coniques conjointes sont toutes parallèles à deux plans.

VII.

17. Il est facile de construire une cubique gauche sur un des cylindres qui passent par elle. Une cubique gauche étant rapportée à trois axes, nous supposerons que l’unité linéaire change de l’un axe a l’autre; θ exprimera toujours une variable.

On construit très aisément la parabole gauche au moyen des équations:

x = θ³,     y = θ²,     z = θ¹.

L’équation:

x² — y = 0

représente le cylindre (parabolique) qui passe par la courbe. L’origine des coordonnées est un point quelconque de celle-ci; le plan des xy est osculateur; celui des xz est tangent à l’origine et parallèle au cylindre; le plan des xy est tangent à l’infini.

La courbe n’a qu’une branche qui s’étend a l’infini tout le long du cylindre, sans asymptotes.

18. Pour l’hyperbole parabolique gauche on a les équations:

$x={\frac {\theta ^{3}}{\theta -\alpha }},$     y = θ²,     z = θ,

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1. Annali di Matematica — Roma — maggio 1858; settembre 1858; gennajo 1859; luglio 1859.