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| 250 | prolusione ad un corso di geometria superiore. |
Dati nello spazio due sistemi correlativi, d’una costruzione affatto generale, ad un punto qualunque corrispondono due piani diversi, secondo che quello si risguardi appartenente al primo o al secondo sistema. Ricercando se ed ove siano i punti situati nei loro propri piani omologhi, si trova il luogo di tali punti essere una superficie di second’ordine, mentre i piani corrispondenti ai punti stessi inviluppano un’altra superficie dello stesso ordine. Le due superficie hanno in comune quattro rette, formanti un quadrilatero gobbo, le quali hanno sè stesse per rispettive rette corrispondenti. In un caso speciale di sistemi correlativi le due superficie menzionate ponno coincidere in una sola; allora i due sistemi sono polari reciproci: ad ogni punto dello spazio, a qualunque sistema si riferisca, corrisponde un solo piano, il quale è precisamente il piano polare del punto rispetto a quell’unica superficie di second’ordine.
Oltre le polari reciproche, v’ha un altro genere interessantissimo di sistemi correlativi reciproci, tali cioè che ogni punto abbia un solo piano corrispondente. Questi altri sistemi correlativi che primo Möbius1 fece scopo di sue ricerche, e che Cayley2 denominò reciproci gobbi, hanno questo carattere distintivo che ogni punto giace nel piano che gli corrisponde. La meccanica razionale e la geometria offrono parecchie e diverse costruzioni di tali sistemi.
Nel discorso che or qui vi tengo non ho fatto allusione che alle proprietà descrittive de’ sistemi projettivi nel piano e nello spazio come quelle che si lasciano enunciare assai facilmente, senza bisogno di ricorrere a simboli algebrici. Ma nelle lezioni a cui preludo avrò un riguardo ancor maggiore alle relazioni metriche, essendo io convinto della verità di queste parole del grande geometra di Francia: “in generale, le relazioni metriche delle figure sono ancora più importanti e più utili a conoscersi che le loro relazioni puramente descrittive, perchè quelle sono suscettibili di più estese applicazioni, e del resto esse bastano quasi sempre da sè sole per arrivare alla scoperta delle proprietà descrittive3„. E le relazioni metriche, mentre sono inesauribilmente feconde di importantissimi risultati, sono pur facilissime a trovarsi, e tutte, in sostanza, si deducono da quest’unico teorema:
Dati due sistemi projettivi, il rapporto anarmonico di quattro punti in linea retta o di quattro raggi di una stella o di quattro piani di un fascio in un sistema è eguale al rapporto anarmonico de’ quattro elementi corrispondenti nell’altro sistema.
