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| prolusione ad un corso di geometria superiore. | 251 |
Questo teorema, così semplice, eppure così universalmente fecondo, è la base, e il tipo di tutte le relazioni metriche trasformabili projettivamente ed è ad un tempo l’anello di congiunzione fra le proprietà metriche e le descrittive.
La teoria delle figure correlative contiene in sè un principio generale di trasformazione delle figure — il principio di dualità — principio che è un vero stromento di ricerche, potentemente efficace in tutta l’estensione dello scibile geometrico. Dato un teorema risguardante un certo sistema di enti geometrici, applicategli un metodo di trasformazione e voi n’avrete un altro teorema, in generale non meno importante. In questo modo dalle proprietà dei sistemi di punti voi potrete dedurre quelle de’ sistemi di rette o di piani; dalla teoria delle curve e delle superficie, considerate come luoghi di punti, si ricava la dottrina delle curve e delle superficie risguardate come inviluppi di rette o di piani; e i teoremi concernenti le linee a doppia curvatura somministrano teoremi relativi alle superficie sviluppabili; e reciprocamente.
L’omografia è lo sviluppo di un principio assai generale di deformazione delle figure, il quale è un altro potentissimo mezzo d’invenzioni geometriche. Mentre il principio di dualità serve a trovare proprietà affatto differenti da quelle che sono proposte, invece l’omografia è un metodo di generalizzazione delle proprietà dell’estensione. Sì fatta generalizzazione può esser fatta in due maniere distinte che danno luogo a questi due enunciati:
“Conoscendo le proprietà di una certa figura, concluderne le analoghe proprietà di un’altra figura dello stesso genere ma di una costruzione più generale.
“Conoscendo alcuni casi particolari di una certa proprietà generale incognita di una figura, concluderne questa proprietà generale1„.
La straordinaria potenza di questi due stromenti d’invenzione, la dualità e l’omografia, apparirà luminosamente dimostrata dalle applicazioni che ne faremo alla teoria delle coniche e delle superficie di second’ordine. Vedremo come i due principi di trasformazione e di deformazione servono a generalizzare le note proprietà de’ fuochi e dei diametri coniugati e conducano alla fecondissima teoria degli assi coniugati relativi ad un punto, teoria dovuta per intero all’illustre Chasles. Le proprietà delle coniche, che si connettono alle rette coniugate, ai triangoli coniugati, alle rette di sintosi, ai centri di omologia; la teoria delle coniche omofocali, e delle coniche circoscritte ad uno stesso quadrangolo o inscritte in uno stesso quadrilatero; la teoria degli archi di sezione conica a differenza rettificabile; le proprietà de’ poligoni inscritti o circoscritti; la teoria delle superficie di second’ordine omologiche; quella delle coniche focali od eccentriche nelle superficie di second’ordine; le proprietà de’ coni di second’ordine e
- ↑ Aperçu historique, p. 262.
