 |
Questa pagina è stata trascritta e formattata, ma deve essere riletta. | |
27.
SULLE SUPERFICIE GOBBE DEL TERZ’ORDINE.
Atti del Reale Istituto Lombardo, volume II (1861), pp. 291-302.
1. Io mi propongo, in questa Memoria, d’investigare coi metodi della pura geometria, alcune interessanti proprietà delle superficie gobbe del terz’ordine. Non so se altri siasi già occupato di questo argomento.
Avrò a far uso della seguente proposizione, dovuta all’illustre Chasles: Se sopra una data retta si ha una serie di punti m, ed una serie di segmenti m’ m’’ in involuzione, e se le due serie sono projettive (cioè si corrispondono anarmonicamente), vi sono in generale tre punti m, ciascuno de’ quali coincide coll’uno o coll’altro de’ suoi corrispondenti m’, m’’. Infatti, presa un’origine o sulla data retta, s’indichi con z il segmento om, e con x l’uno o l’altro de’ segmenti om’, om’’; la projettività delle due serie sarà generalmente espressa da un’equazione della forma:
x2(az + b) + x(a’z + b’) + (a’’z + b’’) = 0,
ove, posto x = z, l’equazione risultante è del terzo grado in z; da cui si conclude la verità dell’enunciato teorema. I tre punti accennati si ottengono geometricamente, mediante le eleganti costruzioni date dallo stesso signor Chasles1.
2. Devesi al celebre matematico inglese Cayley l’importante osservazione, che in una superficie gobba l’ordine è eguale alla classe. Infatti, il numero delle generatrici rettilinee incontrate da una retta arbitraria è evidentemente eguale al numero dei punti comuni a questa retta ed alla superficie, ed anche al numero de’ piani tangenti che per la retta stessa si possono condurre. Segue da ciò, che alle superficie gobbe, di qualsivoglia ordine, compete quella dualità di proprietà geometriche che si riscontra
- ↑ Comptes rendus de l’Académie de Paris, tom. XLI, pag. 677, Veggansi anche i Mélanges de géométrie pure del signor Jonquières, pag. 162.
