Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/278

Da Wikisource.
264 sulle superficie gobbe del terz’ordine.

alle due direttrici rettilinee, formano su queste due serie projettive; ed invero, una serie semplice di punti sulla retta doppia, ed una serie di segmenti in involuzione sull’altra direttrice. I punti doppj di questa involuzione corrispondono ai punti cuspidali della retta doppia.

I piani passanti per l’una o per l’altra delle due direttrici rettilinee di una superficie gobba di terzo grado, formano due fasci projettivi; ed invero, un fascio doppio involutorio intorno alla retta doppia, ed un fascio semplice intorno alla seconda direttrice. I piani doppj dell’involuzione sono quelli che toccano la superficie nei punti cuspidali della retta doppia.

6. Studiamo ora la questione inversa. Sian date due serie projettive di punti, l’una semplice su d’una retta D, l’altra doppia involutoria sopra un’altra retta E; le due rette non situate in uno stesso piano. Di qual grado è la superficie luogo delle rette che uniscono i punti corrispondenti delle due serie? Immagino una retta arbitraria T, e per essa un fascio di piani prospettivo alla serie di punti su D. Questo fascio determinerà sulla retta E una serie di punti omografica a quella data su D; epperò in E avremo due serie projettive di punti, l’una semplice e l’altra doppia in involuzione. Tali serie sopra una stessa retta ammettono in generale tre punti doppj; dunque la retta arbitraria T incontra tre generatrici, ossia la superficie descritta è del terzo grado. Per essa la retta D è evidentemente la retta doppia, ed E è la seconda direttrice. Dunque:

Data una serie di segmenti in involuzione sopra una retta ed una serie semplice di punti, projettiva alla prima serie, sopra un’altra retta, le rette che uniscono i punti corrispondenti delle due serie formano una superficie del terzo grado.

Analogamente si dimostra che:

Dato un fascio involutorio di piani passanti per una retta, ed un altro fascio semplice, projettivo al primo, di piani passanti per una seconda retta, le rette intersezioni de’ piani corrispondenti formano una superficie del terzo grado.

A questi teoremi può anche darsi un’altra espressione. Sia o un punto fisso preso ad arbitrio nella retta doppia D; q un punto fisso in E; sia m un punto qualunque in E; m’ il punto che gli corrisponde in D. Allora la corrispondenza anarmonica delle due serie di punti in D, E sarà espressa da un’equazione della forma:

1)


ove λ, μ, ν, π, ρ, σ sono costanti. Dunque:

Se in due rette date si prendono due punti fissi q, o e due punti variabili m, m’, in modo che fra i segmenti qm, om’ abbia luogo la relazione (1), la retta mm’ genera una superficie del terzo grado.