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| sulle superficie gobbe del terz’ordine. | 265 |
Un analogo enunciate si può dedurre dalla considerazione de’ due fasci di piani, di cui le rette D, E sono gli assi.
7. Una superficie gobba di terzo grado è completamente individuata dalle due serie projettive di punti in D, E. Ciò posto, è ovvio come si risolverebbe il problema:
Costruire le tre generatrici incontrate da una retta data.
La soluzione di questo problema riducesi alla costruzione de’ tre punti doppj di due serie projettive, l’una semplice e l’altra involutoria, sopra una medesima retta.
È del pari facilissimo vedere come si risolvono questi altri problemi:
Per quattro rette, a due a due, non situate in uno stesso piano, e per un punto dato, far passare una superficie gobba di terzo grado. (Due soluzioni, o nessuna).
Costruire la superficie gobba di terzo grado di cui sian date la retta doppia e la seconda direttrice, ed inoltre cinque generatrici (ovvero cinque punti). (Una soluzione).
8. Prendiamo ora a considerare un piano tangente qualsivoglia della superficie Σ, il quale non passi nè per D, nè per E. Esso, oltre al contenere una generatrice, segherà la superficie secondo una conica, la quale è incontrata dalla generatrice in due punti, e questi sono i due punti doppj in virtù de’ quali la sezione, che in generale è una curva del terz’ordine, si risolve qui in una retta ed una conica. Ma anche il punto in cui il piano dato sega la retta doppia, dev’essere un punto doppio per la sezione; dunque uno de’ punti in cui la generatrice incontra la conica, appartiene alla retta doppia. L’altro punto è quello in cui il piano tocca la superficie; ossia:
Ogni piano tangente ad una superficie gobba del terzo grado, il quale non passi per una delle direttrici rettilinee, sega la superficie secondo una conica che è incontrata dalla generatrice posta nel piano stesso in due punti. Uno di questi è il punto di contatto del piano colla superficie; l’altro è il punto in cui la generatrice s’appoggia alla retta doppia.
E per conseguenza:
La retta doppia di una superficie gobba del terzo grado si appoggia a tutte le coniche inscritte in questa.
Ne risulta anche che nessuna di queste coniche incontra la seconda direttrice, e che nessuna conica posta in un piano tangente non passante per una direttrice si risolve in due rette.
Osservo inoltre, che i piani EA, EB (reali o immaginarj), toccando la superficie Σ lungo tutta una generatrice per ciascheduno, toccano anche le coniche in essa inscritte; ossia:
I piani tangenti (reali o immaginarj) che per la direttrice non doppia di una superficie gobba del terzo grado si possono condurre ad una conica inscritta in questa, sono anche tangenti a tutte le altre coniche inscritte nella medesima superficie. I punti
