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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

è la seguente:

6)	${\sqrt {lx}}+{\sqrt {my}}+{\sqrt {nz}}=0$

quindi un punto qualunque di questa linea potrà rappresentarsi col sistema:

$x:y:z=\left({\frac {t+1}{2}}\right)^{2}{\frac {1}{l}}:\left({\frac {t-1}{2}}\right)^{2}{\frac {1}{m}}:{\frac {1}{n}}$

e l’equazione della tangente in questo punto sarà:

7)	$2(t-1)lx-2(t+1)my-(t^{2}-1)nz=0.$

Questa retta, considerata come appartenente alla prima figura, ha per omologa la:

$2(t-1){\frac {l}{a}}x-2(t+1){\frac {m}{b}}y-(t^{2}-1){\frac {n}{c}}z=0$

e le due rette s’incontrano nel punto:

$x:y:z=-{\frac {t+1}{2}}{\frac {a(b-c)}{l}}:{\frac {t-1}{2}}{\frac {b(c-a)}{m}}:{\frac {c(a-b)}{n}}$,

il qual punto, qualunque sia $t$, cioè qualunque sia la coppia delle rette omologhe trovasi sulla retta:

8)	${\frac {l}{a(b-c)}}x+{\frac {m}{b(c-a)}}y+{\frac {n}{c(a-b)}}z=0.$

Questa equazione, moltiplicata per la quantità:

${\frac {4ab(c-a)(c-b)}{c(b-a)}}$

assume la forma (7) ove sia:

9)	$t={\frac {2ab-c(a+b)}{c(b-a)}};$

dunque la retta (8) è tangente alla conica (6) nel punto (9), cioè nel punto:

$x:y:z={\frac {a^{2}(b-c)^{2}}{l}}:{\frac {b^{2}(c-a)^{2}}{m}}:{\frac {c^{2}(a-b)^{2}}{n}}$.

La retta (8), considerata come appartenente alla prima figura ha per omologa la:

${\frac {l}{a^{2}(b-c)}}x+{\frac {m}{b^{2}(c-a)}}y+{\frac {n}{c^{2}(a-b)}}z=0$

e questa incontra la (8) precisamente nel punto (9).