16 intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.
saranno identiche le:
13 )
L
(
1
v
−
1
)
l
+
M
(
v
−
1
)
m
+
N
n
=
0
{\displaystyle \mathrm {L} \left({\frac {1}{v}}-1\right)l+\mathrm {M} (v-1)m+\mathrm {N} n=0}
P
(
1
w
−
1
)
l
+
Q
(
w
−
1
)
m
+
R
n
=
0.
{\displaystyle \mathrm {P} \left({\frac {1}{w}}-1\right)l+\mathrm {Q} (w-1)m+\mathrm {R} n=0.}
Per trovare le coordinate trilineari dell’altro punto comune alla prima delle rette (12) ed alla conica (1) , elimino
z
{\displaystyle z}
(13) :
v
m
L
x
2
+
(
L
l
+
M
m
v
2
)
x
y
+
v
l
M
y
2
=
0
{\displaystyle vm\mathrm {L} x^{2}+(\mathrm {L} l+\mathrm {M} mv^{2})xy+vl\mathrm {M} y^{2}=0}
da cui:
x
:
y
=
−
M
v
:
L
{\displaystyle x:y=-\mathrm {M} v:\mathrm {L} }
5
quindi pel punto richiesto si avrà:
t
=
l
m
v
L
M
{\displaystyle t={\frac {l}{mv}}{\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {M} }}}
Analogamente, per l’altro punto comune alla conica (1) ed alla seconda delle rette (12) , sarà:
t
=
l
m
w
P
Q
{\displaystyle t={\frac {l}{mw}}{\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }}}
Epperò, affinchè questi punti coincidano, è necessario e sufficiente che sia:
L
M
:
v
=
P
Q
:
w
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {M} }}:v={\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }}:w}
cioè:
L
M
=
v
s
{\displaystyle {\frac {\mathrm {L} }{\mathrm {M} }}=vs}
P
Q
=
w
s
{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {Q} }}=ws}
ove
s
{\displaystyle s}
Quindi le equazioni delle rette (12) divengono:
v
s
n
x
+
n
y
+
(
1
−
v
)
(
m
−
l
s
)
z
=
0
{\displaystyle vsnx+ny+(1-v)(m-ls)z=0}
w
s
n
x
+
n
y
+
(
1
−
w
)
(
m
−
l
s
)
z
=
0.
{\displaystyle wsnx+ny+(1-w)(m-ls)z=0.}
Affinchè queste rette siano omologhe, è necessario che la seconda equazione si possa dedurre dalla prima col porre in questa:
x
a
,
y
b
,
z
c
{\displaystyle {\frac {x}{a}},{\frac {y}{b}},{\frac {z}{c}}}
