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| 296 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
Vi sono quattro generatrici dell’iperboloide I passante per la curva gobba di quart’ordine e seconda specie, che sono tangenti alla curva stessa.
In seguito, designeremo con T una qualunque di queste quattro generatrici tangenti; con t il punto in cui essa è tangente alla curva gobba, e con t’ il punto in cui è semplicemente segante.
Ogni altra tangente della curva K, essendo anche tangente all’iperboloide I, non incontra questa superficie in altri punti, oltre quello di contatto; dunque, la superficie sviluppabile V osculatrice della curva K, cioè il luogo delle tangenti alla curva data, ha in comune coll’iperboloide esclusivamente la curva stessa e le quattro generatrici T. La curva K è semplice per l’iperboloide, ed è cuspidale per la sviluppabile; per la qual cosa dee contar due volte nell’intersezione delle due superficie. Questa intersezione equivale dunque complessivamente ad una linea del dodicesimo ordine; quindi:
La sviluppabile osculatrice della curva gobba di quart’ordine e seconda specie è del sesto ordine.
Ossia:
Una retta qualsivoglia incontra sei tangenti della curva gobba di quart’ordine e seconda specie.
Od anche:
Per una retta arbitraria si possono condurre sei piani tangenti alla curva gobba di quart’ordine e seconda specie.
È evidente che in ciascuno de’ quattro punti t l’iperboloide e la sviluppabile V hanno un contatto di second’ordine, onde ciascuno de’ quattro piani osculatori alia curva ne’ punti t conterà per tre piani tangenti comuni alle due superficie. Ed è anche evidente che queste non possono avere altri piani tangenti comuni, Dunque, il numero de’ piani tangenti comuni alle due superficie, ossia il prodotto de’ numeri esprimenti le loro rispettive classi è dodici; eppero:
La sviluppabile osculatrice della curva gobba di quart’ordine e seconda specie è della sesta classe.
Ossia:
Per un punto preso arbitrariamente nello spazio passano sei piani osculatori della curva gobba di quart’ordine e seconda specie.
La sviluppabile osculatrice ha inoltre l’importante proprietà d’essere circoscritta ad una superficie del second’ordine. Per dimostrarlo, convien premettere alcune ricerche, che formeranno l’oggetto del seguente paragrafo.
