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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 297 |
§ 12.
Lemma. Quattro punti in linea retta, a, b, c, d, danno luogo a tre rapporti anarmonici fondamentali:
, , ;
gli altri tre rapporti anarmonici (abdc), (acbd), (adcb), che si possono formare con que’ quattro punti, sono i reciproci de’ tre superiori.
Quando due di quei tre rapporti anarmonici siano eguali, anche il terzo è eguale ai primi due. Ciò riesce evidente, osservando che, se si pone
(abcd) = r,
si ha
, .
Ora suppongansi dati sopra una retta i tre punti a, b, c; ed assunto ad arbitrio (nella retta) un punto m, si determini un punto m’ per modo che il rapporto anarmonico (abcm) sia eguale a quest’altro (acm’b) o, ciò che è lo stesso, a (cabm’). Variando insieme m, m’, questi punti generano due divisioni omografiche, nelle quali ad a, b, c, m corrispondono ordinatamente c, a, b, m. Se d è uno de’ due punti doppi di queste divisioni omografiche, il sistema de’ quattro punti a, b, c, d avrà i suoi tre rapporti anarmonici (fondamentali) eguali fra loro.
Se i tre punti dati sono tutti reali, i due punti doppi sono immaginari. Ma questi sono reali, quando due de’ tre punti dati siano immaginari coniugati. Inoltre è ovvio che, se due de’ punti dati coincidono in un solo, in questo coincidono anche i due punti doppi.
In conseguenza delle cose esposte nel § 2, quanto qui è detto per punti in linea retta, sussiste per punti della curva gobba K.
Ciò premesso, domandiamo di qual classe sia la superficie, inviluppo di un piano segante la curva K in quattro punti (due de’ quali immaginari), i cui tre rapporti anarmonici siano eguali1. Quanti di tali piani passano per una retta qualunque, per es. per una retta appoggiata alla curva gobba in tre punti a, b, c? Secondo il lemma premesso, i tre punti a, b, c determinano due punti, ciascuno de’ quali forma con a, b, c
