Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/313

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intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. 299


Od anche:

Se per una retta, che sia l’intersezione di tre piani osculatori della curva gobba di quart’ordine e seconda specie, si conduce un piano arbitrario, questo sega la curva in quattro punti, i tre rapporti anarmonici de’ quali sono eguali fra loro.

Siano M, M’ le due generatrici rettilinee della superficie S, poste in un piano osculatore qualunque della curva K, e sia G la generatrice della sviluppabile V, posta nel piano medesimo. Siccome questo piano dee toccare in uno stesso punto le due superficie S e V, così il punto comune alle M, M’ apparterrà a G. Questo punto appartiene anche alla curva di contatto fra le due superficie; e la tangente a questa curva in quel punto è, secondo il teorema di Dupin, coniugata a G, ossia è la coniugata armonica di G rispetto alle M, M’.

La curva di contatto è, per la teorica di Poncelet, polare reciproca della sviluppabile V, rispetto alla superficie di secondo grado S. Ne segue che la detta curva è del sesto ordine, che la sviluppabile formata dalle sue tangenti è pure del sesto ordine, ecc.


§ 13.

Immaginiamo segata la sviluppabile V osculatrice della curva gobba K da un piano qualsivoglia P. Questo sega le generatrici ed i piani tangenti della sviluppabile in punti e rette, che sono i punti e le tangenti della curva d’intersezione della sviluppabile medesima col piano. Quindi, questa curva sarà del sesto ordine e della sesta classe, appunto come la sviluppabile, ed avrà quattro cuspidi ne’ punti in cui il piano P incontra la curva cuspidale K. Se adunque, nella prima formola di Plücker, si pone m = m’ = 6 ed s = 4, ne ricaviamo d = 6. Ciò significa che:

Un piano arbitrario contiene sei punti, ciascun de’ quali e l’intersezione di due rette tangenti alla curva gobba di quart’ordine e seconda specie.

Ossia:

I punti, in cui si segano a due a due le tangenti non consecutive della curva gobba di quart’ordine e seconda specie, formano sulla sviluppabile osculatrice una curva doppia o nodale D del sest’ordine.

Per m = d = 6, s = 4, la terza formola di Plückers’ = 4, cioè la curva nel piamo P ha quattro tangenti stazionarie. Una tangente stazionaria nella curva d’intersezione è la traccia, sul piano P, d’un piano tangente stazionario della sviluppabile, cioè d’un piano che ha colla curva K un contatto di terz’ordine ed oscula la sviluppabile V lungo tutta una generatrice (d’inflessione). Dunque:

La sviluppabile osculatrice della curva gobba di quart’ordine e seconda specie ha quattro generatrici d’inflessione.