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intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc.

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Od anche:

Se per una retta, che sia l’intersezione di tre piani osculatori della curva gobba di quart’ordine e seconda specie, si conduce un piano arbitrario, questo sega la curva in quattro punti, i tre rapporti anarmonici de’ quali sono eguali fra loro.

Siano $\mathrm {M}$, $\mathrm {M} '$ le due generatrici rettilinee della superficie $\mathrm {S}$, poste in un piano osculatore qualunque della curva $\mathrm {K}$, e sia $\mathrm {G}$ la generatrice della sviluppabile $\mathrm {V}$, posta nel piano medesimo. Siccome questo piano dee toccare in uno stesso punto le due superficie $\mathrm {S}$ e $\mathrm {V}$, così il punto comune alle $\mathrm {M}$, $\mathrm {M} '$ apparterrà a $\mathrm {G}$. Questo punto appartiene anche alla curva di contatto fra le due superficie; e la tangente a questa curva in quel punto è, secondo il teorema di Dupin, coniugata a $\mathrm {G}$, ossia è la coniugata armonica di $\mathrm {G}$ rispetto alle $\mathrm {M}$, $\mathrm {M} '$.

La curva di contatto è, per la teorica di Poncelet, polare reciproca della sviluppabile $\mathrm {V}$, rispetto alla superficie di secondo grado $\mathrm {S}$. Ne segue che la detta curva è del sesto ordine, che la sviluppabile formata dalle sue tangenti è pure del sesto ordine, ecc.

§ 13.

Immaginiamo segata la sviluppabile $\mathrm {V}$ osculatrice della curva gobba $\mathrm {K}$ da un piano qualsivoglia $\mathrm {P}$. Questo sega le generatrici ed i piani tangenti della sviluppabile in punti e rette, che sono i punti e le tangenti della curva d’intersezione della sviluppabile medesima col piano. Quindi, questa curva sarà del sesto ordine e della sesta classe, appunto come la sviluppabile, ed avrà quattro cuspidi ne’ punti in cui il piano P incontra la curva cuspidale $\mathrm {K}$. Se adunque, nella prima formola di Plücker, si pone $m=m'=6$ ed $s=4$, ne ricaviamo $d=6$. Ciò significa che:

Un piano arbitrario contiene sei punti, ciascun de’ quali è l’intersezione di due rette tangenti alla curva gobba di quart’ordine e seconda specie.

Ossia:

I punti, in cui si segano a due a due le tangenti non consecutive della curva gobba di quart’ordine e seconda specie, formano sulla sviluppabile osculatrice una curva doppia o nodale $\mathrm {D}$ del sest’ordine.

Per $m=d=6$, $s=4$, la terza formola di Plücker dà $s'=4$, cioè la curva nel piano $\mathrm {P}$ ha quattro tangenti stazionarie. Una tangente stazionaria nella curva d’intersezione è la traccia, sul piano $\mathrm {P}$, d’un piano tangente stazionario della sviluppabile, cioè d’un piano che ha colla curva $\mathrm {K}$ un contatto di terz’ordine ed oscula la sviluppabile $\mathrm {V}$ lungo tutta una generatrice (d’inflessione). Dunque:

La sviluppabile osculatrice della curva gobba di quart’ordine e seconda specie ha quattro generatrici d’inflessione.