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| 300 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
Ossia:
La curva gobba di quart’ordine e seconda specie ha quattro punti, ne’ quali i piani osculatori rispettivi hanno colla curva un contatto di terz’ordine.
Per m = m’ = 6, s’= 4, la seconda formola di Plücker dà d’ = 6, cioè la curva d’intersezione nel piano P ha sei tangenti doppie. Una tangente doppia è: o la traccia di un piano che tocchi la sviluppabile lungo due generatrici diverse; ovvero la intersezione di due piani tangenti distinti. Ora la nostra sviluppabile non può ammettere un piano tangente doppio: un tal piano osculerebbe la curva cuspidale K in due punti, il che equivale a segarla in sei punti: cosa impossibile per una curva del quart’ordine. Dunque:
Un piano arbitrario contiene sei rette, ciascuna delle quali è l’intersezione di due piani osculatori della curva gobba di quart’ordine e seconda specie.
Supponiamo ora che il piano segante P sia condotto ad arbitrio per una generatrice G della sviluppabile osculatrice; la sezione sarà composta di quella generatrice e di una curva di quint’ordine e sesta classe. Questa curva avrà due cuspidi, perchè il piano P, essendo tangente alla curva K, la sega in due soli punti fuori della retta G.
Quindi, facendo m = 5, m’ = 6, s = 2, nelle formole di Plücker, avremo d = 4, s’= 5, d’ = 5. Qui abbiamo un flesso di più che nel caso generale: esso è il punto in cui la retta G tocca la curva di quint’ordine (ed anche la curva gobba K).
I sei punti, in cui la curva doppia D e segata dal piano P, sono i quattro punti doppi della curva piana di quint’ordine, ed i due punti in cui questa e intersecata dalla sua tangente stazionaria G. Di qui deduciamo che:
Ogni retta tangente della curva cuspidale K incontra due volte la curva doppia D.
Ossia:
Ogni tangente della curva gobba di quart’ordine e seconda specie incontra due altre tangenti della stessa curva.
Due tangenti della curva K, che s’incontrino, determinano un piano che è doppiamente tangente alla curva medesima. La sezione fatta da un tal piano, nella sviluppabile V, consterà delle due tangenti suddette e di una curva del quart’ordine e della sesta classe. Questa curva non può avere cuspidi, perchè un piano tangente alla curva K in due punti diversi, non può incontrare questa curva in alcun altro punto. Dalle formole di Plücker deduciamo poi, che la curva d’intersezione ha sei flessi, tre punti doppi e quattro tangenti doppie.
Consideriamo ora la sezione fatta nella sviluppabile osculatrice da un piano P che osculi la curva K in un punto g e la seghi in un punto g’, epperò tocchi la sviluppabile medesima lungo una retta G, tangente a K in g. Nella sezione, la generatrice G conterà due volte; quindi, il piano P segherà la sviluppabile secondo una curva di
