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| 302 | intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. |
cessive della curva K sono sovrapposte; quindi il punto g, come intersezione della prima colla terza tangente, appartiene alla curva doppia.
La generatrice d’inflessione G, dopo aver toccata la curva del terz’ordine, sezione fatta dal piano P nella sviluppabile V, va a segarla in un altro punto h; è questo il secondo punto, ove la curva D è incontrata dalla generatrice medesima; {e in esso la curva D sarà osculata dal piano P; perchè, siccome G conta come tre rette nella sezione completa, così il punto h conterà come tre punti doppi della sezione completa medesima}.
Nel caso generale d’un piano osculatore qualsivoglia (§ 13), questo sega la curva D in due punti situati nella generatrice posta in quel piano. Ma quando il piano osculatore è lo stazionario P, uno di que’ due punti va a riunirsi con g; cioè il piano stazionario oscula la curva doppia in h, la tocca semplicemente in g, e la sega inoltre in un terzo punto, fuori della retta G. È quest’ultimo l’unico punto doppio, che abbiamo superiormente trovato nella curva di terz’ordine, sezione della sviluppabile V.
Dunque:
I punti in cui la curva K è toccata dai suoi quattro piani osculatori stazionari sono anche punti della curva D. In essi, i piani stazionari della curva K sono tangenti alia curva D.39
È poi facilissimo persuadersi che i quattro punti anzidetti sono anche quelli, ove i piani stazionari toccano la superficie di secondo grado S e quella superficie di terza classe che è inviluppata dai piani seganti armonicamente la curva K.
§ 15.
Oltre i punti di contatto de’ quattro piani stazionari, le curve K e D hanno in comune i quattro punti t’, ove la prima curva è segata dalle quattro tangenti T generatrici dell’iperboloide I (§ 11). Anzi, questi ultimi sono punti stazionari della curva D. Infatti: in t’ concorrono tre tangenti di K, cioè la tangente in t’, la tangente nel punto successivo (infinitamente vicino) a t’ e la tangente (T) in t. I punti, in cui le prime due tangenti incontrano la terza appartengono alla curva D, in virtù della della definizione di questa curva; dunque, t’ rappresenta due punti successivi della curva D, ossia è un punto stazionario della medesima.
La curva D incontra l’iperbololde I ne’ quattro punti di contatto della curva K coi piani stazionari e nei quattro punti t’. Ciascuno di questi ultimi conta come due intersezioni, perchè è un punto stazionario della curva doppia; dunque quegli otto
