Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/318

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304 intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc.


Essendo d’ = 4, il cono ha quattro piani tangenti doppi, ossia:

Per un punto qualunque dello spazio passano quattro piani, ciascuno de’ quali contiene due rette tangenti della curva gobba di quart’ordine e seconda specie.

Se il cono prospettivo vien segato da un piano qualunque non passante per o, si ha:

Posto l’occhio in un punto qualunque dello spazio, la prospettiva della curva K è una linea piana del quart’ordine e della sesta classe con tre punti doppi, quattro tangenti doppie e sei flessi.

Dalla teoria delle curve piane di quart’ordine dotate di tre punti doppi1 è noto: che le sei tangenti ne’ tre punti doppi toccano una stessa conica; che le sei rette, passanti pei punti doppi e toccanti altrove la curva sono tangenti di una seconda conica; che gli otto punti di contatto delle quattro tangenti doppie sono in una terza conica; e che i tre punti doppi sono le intersezioni delle coppie di lati opposti d’un quadrangolo completo, circoscritto al quadrilatero complete formato dalle tangenti doppie. Dunque:

Per un punto arbitrariamente dato nello spazio, passano tre rette, ciascuna appoggiata in due punti alla curva K. I piani tangenti alla curva ne’ sei punti d’appoggio, condotti dal punto dato, toccano uno stesso cono di secondo grado. Gli altri sei piani tangenti della curva, che passano per quelle tre rette medesime, due per ciascuna, toccano un altro cono di secondo grado.

Per un punto dato ad arbitrio nello spazio, passano quattro piani, ciascuno de’ quali tocca la curva K in due punti distinti. Le rette, che congiungono il punto dato agli otto punti di contatto, giacciono sopra uno stesso cono di second’ordine.

Le tre rette, che dal punto dato ponno condursi ad incontrar due volte la curva K, sono le intersezioni delle coppie di facce opposte di un angolo quadrispigolo completo, circoscritto all’angolo tetraedro completo formato dai quattro piani tangenti doppi.


§ 17.

Se il punto o è preso sull’iperboloide I, le tre rette che incontrano due volte la curva gobba K riduconsi ad una sola, cioè alla generatrice dell’iperboloide appoggiata alla curva in tre punti. Quindi, se si pone l’occhio in quel punto, la prospettiva della curva K è una linea piana del quart’ordine dotata di un punto triplo.

Il punto o sia preso sopra una retta G, tangente alla curva K in un punto g.


  1. Cayley, Cambridge and Dub. Math. Journal, vol. V, pag. 150. — Journal de M. Liouville, t. XV, pag. 352. — Salmon, Higher plane curves, Dublin 1852, pag. 201, 202.