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| intorno alla curva gobba del quart’ordine ecc. | 305 |
Questa retta tien luogo di una delle tre, incontranti due volte la curva gobba; dunque, il cono prospettivo avrà due generatrici doppie ed una cuspidale. Il cono è ancora del quart’ordine, ma della quinta classe, perchè una retta, condotta ad arbitrio per o, incontra, oltre G, soltanto cinque tangenti della curva K.
Le formole di Plücker danno poi s’ = 4 e d’ = 2; cioè, per o passano quattro piani osculatori e due piani doppiamente tangenti, oltre quelli che passano per la retta G.
Se il punto o è l’intersezione di due tangenti della curva K, il cono prospettivo avrà due generatrici cuspidali ed una doppia, epperò un piano tangente doppio e due piani stazionari. E, segandolo con un piano arbitrario, la prospettiva della curva K sarà una linea di quart’ordine e quarta classe, avente un punto doppio, due cuspidi, una tangente doppia e due flessi. Ora è noto1 che, in una tal curva, la retta che unisce i due flessi, quella che passa pei due cuspidi e la tangente doppia concorrono in uno stesso punto. E, pel principio di dualità, il punto d’incontro delle tangenti ne’ cuspidi, quello comune alle due tangenti stazionarie ed il punto doppio sono in linea retta. Dunque:
Per un punto, che sia l’incontro di due tangenti della curva K passano: una retta appoggiata alla curva in due punti, due piani osculatori (oltre i due passanti per le tangenti date) ed un piano contenente due altre tangenti. Quest’ultimo piano, quello delle due tangenti date ed il piano determinato dal punto dato e dai punti di contatto de’ due piani osculatori, passano per una medesima retta. La retta appoggiata alla curva in due punti, la retta intersezione de’ due piani osculatori che passano per le tangenti date e la retta comune agli altri due osculatori giacciono in uno stesso piano.
Il punto o sia ora nella stessa curva K; il cono prospettivo sarà del terz’ordine, perchè ogni piano, condotto pel punto o della curva, la sega in altri tre punti, epperò sega il cono lungo tre generatrici. La generatrice dell’iperboloide I passante per o ed appoggiata in altri due punti alla curva gobba, è una generatrice doppia del cono; questo è dunque della quarta classe. Cioè:
La prospettiva della curva K, quando l’occhio sia collocato sulla curva stessa, è, in generale, una linea del terz’ordine e della quarta classe.
Una linea piana del terz’ordine dotata di punto doppio ha, com’è notissimo, tre flessi in linea retta, e questa retta è la polare armonica del punto doppio, rispetto al triangolo formato dalle tangenti stazionarie. Dunque:
Da un dato punto qualunque della curva gobba di quart’ordine e seconda specie si possono condurre tre piani che la osculino in altri punti. I tre punti di contatto ed il punto dato sono in uno stesso piano, il quale è, rispetto al triedro formato dai piani
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