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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

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Qualunque sia n questa conica tocca la retta:

z = 0

nel punto:

z = 0,     l (b — c) x — m (c — a) y = 0;

dunque è dimostrato il teorema:

Date due figure omografiche in un piano, se sopra una retta doppia si fissa un punto A e per esso si conduce una retta l, le rette che congiungono i punti della retta l co’ loro omologhi inviluppano una conica, che e inscritta nel triangolo formato dalle rette doppie. Tutte le coniche corrispondenti alle infinite rette che si ponno condurre per A si toccano in uno stesso punto, e la tangente comune è la retta doppia su cui è preso il punto A.

Reciprocamente, se le coniche corrispondenti a due rette si toccano, queste rette s’incontrano in un punto di una retta doppia, sulla quale ha luogo il contatto.

Infatti siano le due rette:

lx + my + nz = 0,     Lx + My + Nz = 0

a cui corrisponderanno rispettivamente le coniche:

${\sqrt {\left(l(b-c)x\right)}}+{\sqrt {\left(m(c-a)y\right)}}+{\sqrt {\left(n(a-b)z\right)}}=0$

${\sqrt {\left(\mathrm {L} (b-c)x\right)}}+{\sqrt {\left(\mathrm {M} (c-a)y\right)}}+{\sqrt {\left(\mathrm {N} (a-b)z\right)}}=0.$

Siccome queste coniche sono entrambe inscritte nel triangolo formato dalle rette doppie, così se esse si toccano, ciò avrà luogo in un punto di una di queste rette medesime: sia per es. nella z = 0. Siccome la retta z = 0 tocca la prima conica nel punto:

l (b — c) x = m (c — a) y,     z = 0

e la seconda conica nel punto:

L (b — c) x = M (c — a) y,     z = 0

se questi punti coincidono, sarà:

L = sl,     M = sm

ossia le due rette date avranno per equazioni:

lx + my + nz = 0,     lx + my + ${\frac {\mathrm {N} }{s}}z$ = 0

epperò esse si segano sulla:

z = 0.