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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

${\frac {x}{l}}={\frac {y}{m}}$

passante pel punto doppio:

x = y = 0

il quale è quello in cui si toccano le due coniche.

7.

Sulla retta doppia:

z = 0

fisso il punto:

lx + my = 0,     z = 0

e per esso imagino la retta variabile:

lx + my + nz = 0

ove n è indeterminata.

Siano u, v, w le coordinate trilineari di un punto di questa retta: l’equazione della congiungente il punto stesso al suo omologo sarà:

${\frac {b-c}{u}}x+{\frac {c-a}{v}}y+{\frac {a-b}{w}}z=0$

la quale equazione, eliminandone u : v mediante l’identica:

lu + mv + nw = 0

diviene:

${\frac {v^{2}}{w^{2}}}z-{\frac {(b-c)lx-(c-a)my-(a-b)nz}{(a-b)m}}{\frac {v}{w}}+{\frac {(c-a)n}{(a-b)m}}y=0.$

La forma di questa equazione manifesta che la retta da essa rappresentata inviluppa la conica:

${\frac {(c-a)n}{(a-b)m}}yz-\left({\frac {(b-c)lx-(c-a)my-(a-b)nz}{2(a-b)m}}\right)^{2}=0$

ossia:

${\sqrt {\left(l(b-c)x\right)}}+{\sqrt {\left(m(c-a)y\right)}}+{\sqrt {\left(n(a-b)z\right)}}=0$

conica inscritta nel triangolo:

x = 0,     y = 0,     z = 0.