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intorno ad alcuni teoremi di geometria segmentaria.

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è:

al (b — c) y + bm (c — a) x = 0

e quindi è indipendente da n. Dunque:

Date due figure omografiche in un piano, se per un punto doppio si conduce una retta fissa A e su di questa si prende un punto a, tutte le rette della prima figura che passano per a incontrano le loro rispettive omologhe in punti situati su di una stessa conica, che passa pe’ tre punti doppi. Tutte le coniche corrispondenti agli infiniti punti della retta A si toccano in uno stesso punto, il quale è il punto doppio pel quale passa la retta A.

Reciprocamente, se le coniche corrispondenti a due punti si toccano, questi punti sono in linea retta con un punto doppio ed il contatto ha luogo in questo punto.

Infatti, i due punti siano determinate dalla equazione:

${\frac {x}{l}}={\frac {y}{m}}={\frac {z}{n}}$

${\frac {x}{\mathrm {L} }}={\frac {y}{\mathrm {M} }}={\frac {z}{\mathrm {N} }}$

a cui corrisponderanno rispettivamente le coniche:

${\frac {al(b-c)}{x}}+{\frac {bm(c-a)}{y}}+{\frac {cn(a-b)}{z}}=0$

${\frac {a\mathrm {L} (b-c)}{x}}+{\frac {b\mathrm {M} (c-a)}{y}}+{\frac {c\mathrm {N} (a-b)}{z}}=0.$

Siccome queste coniche passano entrambe pei punti doppi, così se esse si toccano, ciò avrà luogo in uno di tali punti. Sia per es. l’x = y = 0. Le tangenti alle due coniche in questo punto sono:

al (b — c) y + bm (c — a) x = 0,     aL (b — c) y + bM (c — a) x = 0:

esse coincideranno se:

L = sl,     M = sm

ove s è un’indeterminata. Allora il secondo de’ punti dati sarà rappresentato dalle equazioni:

${\frac {x}{l}}={\frac {y}{m}}={\frac {sz}{\mathrm {N} }}$

cioè i due punti dati sono entrambi sulla retta: