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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

Se inoltre i gruppi della seconda involuzione contenessero $s$ volte il punto $o$, questo figurerebbe $r+s$ volte fra i punti comuni alle due involuzioni.

(d) Se un gruppo della prima involuzione (per es. quello che si ha ponendo $\omega =0$) contiene $r$ volte uno stesso punto $o$, e se il corrispondente gruppo della seconda involuzione contiene $s$ volte lo stesso punto $o$, ove sia $s>r$, è evidente che l’equazione 5) conterrà nel primo membro il fattore ${\overline {oa}}^{r}$, cioè il punto $o$ terrà il posto di $r$ punti comuni alle due involuzioni.

(e) È superfluo accennare che, per le rette concorrenti in uno stesso punto, si può stabilire una teoria dell’involuzione affatto analoga a quella suesposta pei punti di una retta.

25. Merita speciale studio l’involuzione di secondo grado o quadratica, per la quale, fatto $n=2$ nella 1), si ha un’equazione della forma:

6)	$k_{2}.{\overline {oa}}^{2}+k_{1}.oa+k_{0}+\omega (h_{2}.{\overline {oa}}^{2}+h_{1}.oa+h_{0})=0.$

Qui ciascun gruppo è composto di due soli punti, i quali diconsi coniugati; e chiamasi punto centrale quello, il cui coniugato è a distanza infinita¹. Posta l’origine $o$ de’ segmenti nel punto centrale ed inoltre assunto il gruppo, al quale esso appartiene, come corrispondente ad $\omega =\infty$, dovrà essere $h_{2}=h_{0}=0$. Pertanto, se $a,\,a'$ sono due punti coniugati qualunque, l’equazione 6) dà:

$oa.oa'={\frac {k_{0}}{k_{2}}}=$ cost.

Confrontando questa equazione con quella che esprime la projettività di due punteggiate (9):

$ia.j'a'=$ cost.

si vede che l’involuzione quadratica nasce da due punteggiate projettive, le quali vengano sovrapposte in modo da far coincidere i punti $i,\,j'$ corrispondenti ai punti all’infinito. Altrimenti possiam dire che due punteggiate projettive sovrapposte formano un’involuzione (quadratica), quando un punto $a$, considerato come appartenente all’una o all’altra punteggiata, ha per corrispondente un solo e medesimo punto $a'$.

Da tale proprietà si conclude che nell’involuzione quadratica, il rapporto anarmonico di quattro punti è eguale a quello de’ loro coniugati.

(a) Siano $e,\,f$ i due punti doppi (22) dell’involuzione, determinati dall’eguaglianza

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1. {L’involuzione $(aa',\,bb')$ ha i punti doppi reali o no, secondo che il rapporto anarmonico $(aa'bb')$ è positivo o negativo.}