Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Projettività delle punteggiate e delle stelle

by Luigi Cremona

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 2. Projettività delle punteggiate e delle stelle

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Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Del rapporto anarmonico

Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane - Teoria de' centri armonici

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Art. II.

Projettività delle punteggiate e delle stelle.

7. Chiameremo punteggiata la serie de’ punti situati in una stessa retta, e fascio di rette o stella^[1] la serie delle rette (situate in un piano) passanti per uno stesso punto (centro della stella)^[2]. Le punteggiate e le stelle si designeranno col nome comune di forme geometriche. Per elementi di una forma geometrica intendansi i punti o le rette costituenti la punteggiata o la stella che si considera.

Due forme geometriche si diranno proiettive quando fra i loro elementi esista tale relazione, che a ciascun elemento della prima corrisponda un solo e determinato elemento della seconda ed a ciascun elemento di questa corrisponda un solo e determinato elemento della prima ^[3].^[4]

Per esempio: se una stella vien segata da una trasversale arbitraria, i punti d’intersezione formano una punteggiata projettiva alla stella.

Dalla precedente definizione segue evidentemente che due forme projettive ad una terza sono proiettive fra loro.

8. Consideriamo due rette punteggiate. Se $i$ è un punto fisso della prima retta, un punto qualunque $m$ della medesima sarà individuato dal segmento $im$; ed analogamente, un punto qualunque $m^{\prime }$ della seconda retta sarà individuato dal segmento $j^{\prime }{m}^{\prime }$, ove $j^{\prime }$ sia un punto fisso della stessa retta. Se le due punteggiate sono projettive e se $m,m^{\prime }$ sono punti corrispondenti, fra i segmenti $im,j^{\prime }{m}^{\prime }$ avrà luogo una relazione, la quale, in virtù della definizione della projettività, non può essere che della forma seguente:

1)	$\chi .im.j^{\prime }{m}^{\prime }+\lambda .im+\mu .j^{\prime }{m}^{\prime }+\nu =0$,

ove $\chi ,\lambda ,\mu ,\nu$ sono coefficienti costanti. Quest’equazione può essere semplificata, determinando convenientemente le origini $i,j^{\prime }$. Sia $i$ quel punto della prima punteggiata, il cui corrispondente è all’infinito nella seconda retta: ad $im=0$ dovrà corrispondere $j^{\prime }{m}^{\prime }=\mathrm{\infty }$, quindi $\mu =0$. Così se supponiamo che $j^{\prime }$ sia quel punto della seconda punteggiata, a cui corrisponde il punto all’infinito della prima, sarà $\lambda =0$. Perciò l’equazione 1) assume la forma:

2)	$im.j^{\prime }{m}^{\prime }=k$,

ove $k$ è una costante.

Siano $a,b,c,d$ quattro punti della prima retta; $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$ i loro corrispondenti nella seconda. Dalla 2) abbiamo:

$j^{\prime }{a}^{\prime }=\frac{k}{ia},j^{\prime }{c}^{\prime }=\frac{k}{ic}$,

quindi:

$a^{\prime }{c}^{\prime }=-\frac{k.ac}{ia.ic}$.

Analoghe espressioni si ottengono per $c^{\prime }{b}^{\prime },a^{\prime }{d}^{\prime },d^{\prime }{b}^{\prime }$, e per conseguenza:

$\frac{a^{\prime }{c}^{\prime }}{c^{\prime }{b}^{\prime }}:\frac{a^{\prime }{d}^{\prime }}{d^{\prime }{b}^{\prime }}=\frac{ac}{cb}:\frac{ad}{db}$,

cioè:

$(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })=(abcd)$.

Abbiansi ora una stella ed una punteggiata, projettive. Segando la stella con una trasversale arbitraria si ha una nuova punteggiata, che è projettiva alla stella, e quindi projettiva anche alla punteggiata data (7). Siano $a,b,c,d$ quattro punti della punteggiata data, $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ i corrispondenti raggi della stella ed $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$ i punti in cui questi raggi sono incontrati dalla trasversale. Avremo:

$(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })=(abcd)$.

Ma si ha anche (2):

$(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })=\mathrm{sen}(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D})$,

dunque:

$(abcd)=\mathrm{sen}(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D})$.

Da ultimo, siano date due stelle proiettive: segandole con due trasversali (o anche con una sola) si avranno due punteggiate, rispettivamente projettive alle stelle, epperò projettive fra loro. Siano $\mathrm{A},\mathrm{B},\mathrm{C},\mathrm{D}$ quattro raggi della prima stella; ${\mathrm{A}}^{\prime },{\mathrm{B}}^{\prime },{\mathrm{C}}^{\prime },{\mathrm{D}}^{\prime }$ i quattro corrispondenti raggi della seconda; $a,b,c,d$ ed $a^{\prime },b^{\prime },c^{\prime },d^{\prime }$ i quattro punti in cui questi raggi sono incontrati dalle rispettive trasversali. A cagione delle due punteggiate abbiamo:

$(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })=(abcd)$.

Ma si ha inoltre (2):

$(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime })=\mathrm{sen}({\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime }),(abcd)=\mathrm{sen}(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D})$,

dunque:

$\mathrm{sen}({\mathrm{A}}^{\prime }{\mathrm{B}}^{\prime }{\mathrm{C}}^{\prime }{\mathrm{D}}^{\prime })=\mathrm{sen}(\mathrm{A}\mathrm{B}\mathrm{C}\mathrm{D})$.

Concludiamo che: date due forme projettive, il rapporto anarmonico di quattro elementi quali si vogliano dell’una è uguale al rapporto anarmonico de’ quattro corrispondenti elementi dell’altra.

Da ciò consegue che, nello stabilire la projettività fra due forme geometriche, si ponno assumere ad arbitrio tre coppie d’elementi corrispondenti, per es. $a{a}^{\prime },b{b}^{\prime },c{c}^{\prime }$. Allora, per ogni altro elemento $m$ dell’una forma, il corrispondente elemento $m^{\prime }$ dell’altra sarà individuato dalla condizione dell’eguaglianza de’ rapporti anarmonici $(a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{m}^{\prime }),(abcm)$.

9. Supponiamo che due rette punteggiate projettive vengano sovrapposte l’una all’altra; ossia imaginiamo due punteggiate projettive sopra una medesima retta, quali a cagion d’esempio si ottengono segando con una sola trasversale due stelle projettive. La projettività delle due punteggiate è rappresentata dall’equazione 2):

$im.j^{\prime }{m}^{\prime }=k$.

Per mezzo di essa cerchiamo se vi sia alcun punto $m$ che coincida col suo corrispondente $m^{\prime }$.

Se le due punteggiate s’imaginano generate dal movimento simultaneo de’ punti corrispondenti $m,m^{\prime }$, è evidente che questi due punti si moveranno nello stesso senso o in sensi opposti, secondo che la costante $k$ sia negativa o positiva.

Sia $k>0$. In questo caso è manifesto che si può prendere sul prolungamento del segmento $j^{\prime }i\dots$ un punto $e$ tale che si abbia $ie.j^{\prime }e=k$. E se si prenderà sul prolungamento di $i{j}^{\prime }\dots$ un punto $f$, che sia distante da $j^{\prime }$ quanto $e$ da $i$, sarà $if.j^{\prime }f=k$. Cioè i punti $e,f$, considerati come appartenenti ad una delle due punteggiate, coincidono coi rispettivi corrispondenti.

Ora sia $k=-h^2$. I punti $m,m^{\prime }$ non potranno, in questo caso, coincidere che entro il segmento $i{j}^{\prime }$. Si tratta adunque di dividere questo segmento in due parti $im,m{j}^{\prime }$, il rettangolo delle quali sia $h^2$. Quindi, se $2h<i{j}^{\prime }$, vi saranno due punti $e,f$ sodisfacenti alla questione: essi sono i piedi delle ordinate perpendicolari ad $i{j}^{\prime }$ ed eguali ad $h$, del semicircolo che ha per diametro $i{j}^{\prime }$. Se $2h=i{j}^{\prime }$, non vi sarà che il punto medio di $i{j}^{\prime }$ che coincida col proprio corrispondente. Da ultimo, se $2h>i{j}^{\prime }$, la quistione non ammette soluzione reale.

Concludiamo che due punteggiate projettive sovrapposte hanno due punti comuni^[5] (reali, imaginari o coincidenti), equidistanti dal punto medio del segmento $i{j}^{\prime }$.

Che i punti comuni dovessero essere al più due si poteva prevedere anche da ciò che, se due punteggiate projettive hanno tre punti coincidenti coi rispettivi corrispondenti, esse sono identiche. Infatti, se $(abcm)=(abc{m}^{\prime })$, il punto $m^{\prime }$ coincide con $m$.

Se $e,f$ sono i punti comuni di due punteggiate projettive sovrapposte, nelle quali $a{a}^{\prime },b{b}^{\prime }$ siano due coppie di punti corrispondenti, si avrà l’eguaglianza de’ rapporti anarmonici:

$(abef)=(a^{\prime }{b}^{\prime }ef)$,

che si può scrivere così:

$(a{a}^{\prime }ef)=(b{b}^{\prime }ef)$,

donde si ricava che il rapporto anarmonico $(a{a}^{\prime }ef)$ è costante, qualunque sia la coppia $a{a}^{\prime }$.

10. Siano date due stelle projettive, aventi lo stesso centro. Segandole con una trasversale, otterremo in questa due punteggiate projettive: due punti corrispondenti $m,m^{\prime }$ sono le intersezioni della trasversale con due raggi corrispondenti $\mathrm{M},{\mathrm{M}}^{\prime }$ delle due stelle. Siano $e,f$ i punti comuni delle due punteggiate. Siccome i punti $e,f$ della prima punteggiata coincidono coi loro corrispondenti $e^{\prime },f^{\prime }$ della seconda, così anche i raggi $\mathrm{E},\mathrm{F}$ della prima stella coincideranno rispettivamente coi raggi ${\mathrm{E}}^{\prime },{\mathrm{F}}^{\prime }$ che ad essi corrispondono nella seconda stella. Dunque, due stelle projettive concentriche hanno due raggi comuni (reali, imaginari o coincidenti), cioè due raggi, ciascun de’ quali è il corrispondente di sè stesso.

Note

1. Anche nel seguito la parola «stella» è sempre usata nel senso di «fascio di rette», a differenza del significato che ora le si dà comunemente.
2. Bellavitis, Geometria descrittiva, Padova 1851, p. 75.
3. Chasles, Principe de correspondance entre deux objets variables etc. (Comptes rendus de l’Acad. de France, 24 décembre 1855). — Battaglini, Sulla dipendenza scambievole delle figure (Memorie della R. Accademia delle scienze, vol. 2, Napoli 1857, p. XXI e p. 188).
4. Questa definizione è insufficiente per gli scopi a cui poi la si applica. Occorrerebbe aggiungere, ad esempio, la condizione dell’algebricità della relazione (Cfr. C. F. Geiser, Sopra un teorema fondamentale della Geometria. Annali di matematica, 2.ª serie, vol. 4, 1870-71, pag. 25-30). Così in seguito (nn. 8, 36, 46, ecc.) accade ripetutamente che dalla sola biunivocità di una corrispondenza si conchiuda che questa è rappresentabile con un’equazione bilineare.
5. {O punti uniti.}