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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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; e che
è dato, mediante
, dalla 1). Abbiamo così il teorema1:
Tutte le curve d’ordine
53, descritte per
punti dati di una curva d’ordine
e per
punti dati di una curva d’ordine
, segano la prima curva in altri
punti fissi e la seconda curva in altri
punti fissi.
(a) Da questo teorema segue immediatamente:
Affinchè per le
intersezioni di due curve d’ordine
passi il sistema di due curve d’ordini
, è necessario e sufficiente che di queste intersezioni
appartengano alla curva d’ordine
, ed
appartengano alla curva d’ordine
.
(b) Quando il numero
ha il suo minimo valore, il teorema suenunciato può esprimersi così:
Ogni curva d’ordine
, descritta per
punti dati di una curva d’ordine
, incontra questa in altri
punti fissi.
Ovvero:
Se delle
intersezioni di due curve d’ordine
,
giacciono in una curva d’ordine
, questa ne conterrà altre
, e le rimanenti
saranno in una curva d’ordine
.
Del resto, questi teoremi sono compresi nel seguente più generale.
44. Date due curve, l’una
d’ordine
, l’altra
d’ordine
, se delle loro intersezioni ve ne sono
situate sopra una curva
d’ordine
, questa curva ne conterrà altre
; e le rimanenti
saranno sopra una curva d'ordine
.54
Infatti: fra le
intersezioni delle curve
non comuni a
, se ne prendano
e per esse si descriva una curva
d’ordine
. Avremo così due luoghi d’ordine
: l’uno è
, l’altro è
. La curva
contiene ![{\displaystyle mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b896eb0445adb070ea46b87009ff9a050bdc8ff9)
![{\displaystyle +{\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b62564ba6e9ae01b6c83f8af0d845f39f839e38a)
intersezioni de’ due luoghi, dunque (43, b) ne conterrà altre
- ↑ Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 11.