Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/498

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o presi, ad arbitrio» vada intesa nel senso di «punti generici», cioè «escluse talune posizioni eccezionali».

[52] Pag. 359. Questo fatto non si può asserire senza riserve: perchè gli punti, essendo stati presi sulle due curve date, di ordini , non sono «punti presi ad arbitrio» nel senso della proposizione del n. 41 qui invocata. Effettivamente il teorema di Plücker, a cui poi si giunge, esigerebbe qualche restrizione (cfr. nota seguente); e così pure i corollari che se ne traggono in questo n. 43 e nel n. 44.

[53] Pag. 360. Qui, in (A), si aggiunge: «se in numero ». Cfr. le due note precedenti.

[54] Pag. 360. Anche qui occorrono restrizioni. La dimostrazione che segue esige, fra altro, che sia : se no, non si posson prendere (n. 42) su gli punti per descrivere (irriducibile). Così per , , il teorema non vale. — È vera però, senza riserve, la proposizione così modificata (che occorre nel seguito): Date due curve che si taglino in punti, se per questi passa una , ove , essa taglia ulteriormente in punti situati sopra una curva d’ordine .

[55] Pag. 361. Questo teorema vale solo (come già diceva il Cayley) colla condizione . Anzi, esso va modificato così: fra le intersezioni di due curve d’ordini se ne posson trovare tali che qualunque curva d ordine descritta per essi passa anche ecc. ecc.

[56] Pag. 364. Per poter conchiudere che si ha un’involuzione non basterebbe quel carattere: occorrerebbe anche invocare, per esempio, l’algébricità. Cfr. nota [42].

[57] Pag. 366. Si aggiunga all’una o l’altra ipotesi anche il caso .

[58] Pag. 366. La determinazione delle due tangenti in a è fatta nel 1.° articolo (n. 4) della Memoria n. 53 « Sopra alcune questioni nella teoria delle curve piane».

[59] Pag. 367. La dimostrazione di questo fatto viene, nel seguito, scomposta in due parti (nn. 54 e 55).
Nel n. 54 si fa vedere che, se una contiene punti formanti la base d’un fascio d’ordine , essa può esser generata con due fasci projettivi degli ordini , . Ciò è vero; ma il ragionamento si serve ripetutamente, per curve d’ordine del teorema del n. 41 (al quale si riferiva la nota [51]), in casi che si prestano a riserve simili a quelle che abbiam fatto in [52].
Quanto all’esistenza su ogni di gruppi di punti base per fasci d’ordine , essa è poi provata nel n. 55, ma con solo conto di costanti: metodo che, in problemi di questa natura, non serve.
Ciò nondimeno il fatto essenziale è esatto. Cfr. C. Küpper, Projective Erzeugung der Curven m-ter Ordnung (Mathematische Annalen, t. 48, 1897, pag. 401).