Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Porismi di Chasles e teorema di Carnot

by Luigi Cremona

Art. 8. Porismi di Chasles e teorema di Carnot

../Numero delle condizioni che determinano una curva di dato ordine o di data classe ../Altri teoremi fondamentali sulle curve piane IncludiIntestazione 6 febbraio 2009 75% matematica

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 8. Porismi di Chasles e teorema di Carnot

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Art. VIII.

Porismi di Chasles e teorema di Carnot.

36. Sia dato (fig. 6.^a) un triangolo ${\rm {ABC}}$. Un punto qualunque $a$ di ${\rm {BC}}$ è individuato dal rapporto ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}$; e parimenti, un punto qualunque $b$ di ${\rm {CA}}$ è individuato dal rapporto ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$. Tirate le rette $\mathrm {A} a,\,\mathrm {B} b$, queste s’incontrino in un punto $m$, che è, per conseguenza, Fig.ª 6.ªFig.ª 6.ªdeterminato dai due rapporti ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$, i quali chiameremo coordinate del punto $m$. La retta $\mathrm {C} m$ seghi ${\rm {AB}}$ in $c$: così si ottiene un terzo rapporto ${\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$. Fra i tre rapporti ha luogo una semplice relazione, poichè, in virtù del noto teorema di Ceva,¹ si ha:

${\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}:{\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}=-{\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$.

Quando il punto $m$ è sopra una delle due rette ${\rm {CA,\,CB}}$, una delle due coordinate è nulla. Se $m$ è sopra ${\rm {AB}}$, le due coordinate sono entrambe infinite, ma è finito il loro rapporto, che è espresso da $-{\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$.

Supponiamo che $m$ si muova sopra una retta data: i punti $a$ e $b$ genereranno sopra ${\rm {CB}}$ e ${\rm {CA}}$ due punteggiate projettive, cioè ad ogni posizione del punto $a$ corrisponderà una sola posizione di $b$ e reciprocamente. Dunque, fra i rapporti ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$ che determinano i due punti $a,\,b$, avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascun d’essi. Siccome poi, nel punto in cui la retta data incontra ${\rm {AB}}$, entrambi i rapporti ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$ diventano infiniti, così quell’equazione non può essere che della forma:

1)	$\lambda {\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}+\mu {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}+\nu =0$.

Questa relazione fra le coordinate di un punto qualunque $m$ di una retta data è ciò che si chiama equazione della retta.

Di quale forma sarà la relazione fra le coordinate di $m$, se questo punto si muove percorrendo una curva d’ordine $n$? Una retta qualunque, la cui equazione sia la 1), incontra la curva in $n$ punti; quindi la relazione richiesta e l’equazione 1) dovranno essere simultaneamente sodisfatte da $n$ coppie di valori delle coordinate ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$; la qual cosa esige necessariamente che la richiesta relazione sia del grado $n$ rispetto alle coordinate del punto variabile, considerate insieme.

Dunque, se il punto $m$ percorre una curva d’ordine $n$, fra le coordinate variabili di $m$ avrà luogo una relazione costante della forma:

2)	$\alpha \left({\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}\right)^{n}+\left[\beta +\gamma {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}\right]\left({\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}\right)^{n-1}+\dots +\pi \left({\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}\right)^{n}+\rho =0$,

la quale può dirsi l’equazione della curva luogo del punto mobile.

Reciprocamente: se il punto $m$ varia per modo che fra le sue coordinate abbia luogo una relazione costante della forma 2), il luogo del punto $m$ è una curva d’ordine $n$.

37. Consideriamo di nuovo (fig. 7ª) un triangolo ${\rm {ABC}}$; un punto $a$ in ${\rm {BC}}$, determinato dal rapporto ${\tfrac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}$ ed un punto $b$ in ${\rm {CA}}$, determinato dal rapporto ${\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}$, individuano una retta $ab$ la quale è, per conseguenza, determinata dai due rapporti ${\tfrac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}$, ${\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}$. Fig.ª 7.ªFig.ª 7.ªQuesti due rapporti si chiameranno coordinate della retta. La quale poi incontra ${\rm {AB}}$ in un terzo punto $c$, e così dà luogo ad un terzo rapporto ${\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$. In virtù del noto teorema di Menelao², i tre rapporti sono connessi fra loro dalla relazione semplicissima:

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}:{\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}={\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$.

Quando la retta $ab$ passa per l’uno $o$ per l’altro de’ punti ${\rm {A}}$, ${\rm {B}}$, una delle due coordinate è zero. Se poi la retta passa per ${\rm {C}}$, entrambe le coordinate sono infinite, ma è finito il loro rapporto ${\tfrac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$.

Supponiamo che la retta $ab$ varii girando intorno ad un punto dato. Allora i punti $a,\,b$ genereranno due punteggiate projettive, epperò fra le due coordinate di $ab$ avrà luogo una equazione di primo grado rispetto a ciascuna coordinata. E siccome, quando la retta mobile passa per $C$, entrambe le coordinate divengono infinite, così la forma dell’equazione sarà:

1')	$\lambda {\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}+\mu {\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}+\nu =0$.

Questa relazione fra le coordinate di una retta mobile intorno ad un punto dato può chiamarsi l’equazione del punto (considerato come inviluppo della retta mobile).

Suppongasi ora che la retta $ab$ varii inviluppando una curva della classe $m$; qual relazione avrà luogo fra le coordinate della retta variabile? Da un punto qualunque, l’equazione del quale sia la 1'), partono $m$ tangenti della curva, cioè $m$ posizioni della retta mobile. Dunque la relazione richiesta e l’equazione 1') dovranno essere sodisfatte simultaneamente da $m$ sistemi di valori delle coordinate. Onde s’inferisce che la relazione richiesta sarà del grado $m$ rispetto alle coordinate considerate insieme.

Dunque: se una retta si muove inviluppando una curva della classe $m$, fra le coordinate variabili della retta avrà luogo una relazione costante della forma:

2')	$\alpha \left({\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}\right)^{m}+\left[\beta +\gamma {\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}\right]\left({\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}\right)^{m-1}$ $+\dots +\pi \left({\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}\right)^{m}+\rho =0,$

la quale può risguardarsi come l’equazione della curva inviluppata dalla retta mobile.

Viceversa: se una retta varia per modo che le sue coordinate sodisfacciano costantemente ad una relazione della forma 2'), l’inviluppo della retta sarà una curva della classe $m$.

I due importanti porismi dimostrati in questo numero e nel precedente sono dovuti al sig. Chasles³.

38. Riprendiamo l’equazione 2). Pei punti $a,\,a',\dots$ in cui la curva da essa rappresentata sega la retta ${\rm {CB}}$, la coordinata ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$ è nulla e l’altra coordinata si desumera dall’equazione medesima, ove si faccia ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}=0$. Si avrà così:

${\frac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}.{\frac {a'\mathrm {C} }{a'\mathrm {B} }}\dots =(-1)^{n}{\frac {\rho }{\alpha }}.$

Analogamente, pei punti $b,\,b',\dots$ in cui la curva sega ${\rm {CA}}$ si ottiene:

${\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {b'\mathrm {C} }{b'\mathrm {A} }}\dots =(-1)^{n}{\frac {\rho }{\pi }}.$

Divisa l’equazione 2) per $\left({\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }}\right)^{n}$ e avuto riguardo al teorema di Ceva, si ha:

$\alpha +\beta {\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}-\gamma {\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\dots +\pi \left(-{\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{n}+\rho \left({\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}\right)^{n}=0$,

dove facendo ${\tfrac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}=0$ si avranno i punti $c,\,c',\dots$ comuni alla curva ed alla retta ${\rm {AB}}$; dunque:

${\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}.{\frac {c'\mathrm {B} }{c'\mathrm {A} }}\dots ={\frac {\alpha }{\pi }}$.

Dai tre risultati così ottenuti si ricava:

3)	${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {a'\mathrm {B} }{a'\mathrm {C} }}\dots \times {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {b'\mathrm {C} }{b'\mathrm {A} }}\dots \times {\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}.{\frac {c'\mathrm {A} }{c'\mathrm {B} }}\dots =1$,

e si ha così il celebre teorema di Carnot⁵:

Se una curva dell’ordine $n$ incontra i lati di un triangolo ${\rm {ABC}}$ ne’ punti $aa'\dots$ in ${\rm {BC}}$, $bb'\dots$ in ${\rm {CA}}$, $cc'\dots$ in ${\rm {AB}}$, si ha la relazione 3).

Questo teorema si applica anche ad un poligono qualsivoglia.

39. Per $n=1$ il teorema di Carnot rientra in quello di Menelao. Per $n=2$, si ha una proprietà di sei punti d’una curva di second’ordine. E siccome una curva siffatta è determinata da cinque punti (34), così avrà luogo il teorema inverso:

Se nei lati ${\rm {BC,\,CA,\,AB}}$ di un triangolo esistono sei punti $aa',\,bb',\,cc'$ tali che si abbia la relazione:

4)	${\frac {a\mathrm {B} .a'\mathrm {B} .b\mathrm {C} .b'\mathrm {C} .c\mathrm {A} .c'\mathrm {A} }{a\mathrm {C} .a'\mathrm {C} .b\mathrm {A} .b'\mathrm {A} .c\mathrm {B} .c'\mathrm {B} }}=1$,

i sei punti $aa'bb'cc'$ sono in una curva di second’ordine.

Se i punti $a'b'c'$ coincidono rispettivamente con $abc$, cioè se la curva tocca i lati del triangolo in $a,\,b,\,c$, la precedente relazione diviene:

${\frac {a\mathrm {B} .b\mathrm {C} .c\mathrm {A} }{a\mathrm {C} .b\mathrm {A} .c\mathrm {B} }}=\pm 1$.

De’ due segni, nati dall’estrazione della radice quadrata, non può prendersi il positivo, poichè in tal caso, pel teorema di Menelao, i tre punti $abc$ sarebbero in una retta: il che è impossibile, non potendo una curva di second’ordine essere incontrata da una retta in più che due punti. Preso adunque il segno negativo, si conclude, in virtù del teorema di Ceva, che le rette $\mathrm {A} a,\,\mathrm {B} b,\,\mathrm {C} c$ concorrono in uno stesso punto. Cioè: se una curva di second’ordine è inscritta in un triangolo, le rette che ne uniscono i vertici ai punti di contatto de’ lati opposti passano per uno stesso punto.

(a) Per $n=3$, dal teorema di Carnot si ricava che, se i lati d’un triangolo ${\rm {ABC}}$ segano una curva del terz’ordine (o più brevemente cubica) in nove punti $aa'a'',\,bb'b'',\,cc'c''$ ha luogo la relazione segmentaria:

5)	${\frac {a\mathrm {B} .a'\mathrm {B} .a''\mathrm {B} .b\mathrm {C} .b'\mathrm {C} .b''\mathrm {C} .c\mathrm {A} .c'\mathrm {A} .c''\mathrm {A} }{a\mathrm {C} .a'\mathrm {C} .a''\mathrm {C} .b\mathrm {A} .b'\mathrm {} A.b''\mathrm {A} .c\mathrm {B} .c'\mathrm {B} .c''\mathrm {B} }}=1$.

Se i sei punti $aa'bb'cc'$ sono in una curva di second’ordine, si avrà anche la relazione 4), per la quale dividendo la 5) si ottiene:

${\frac {a''\mathrm {B} .b''\mathrm {C} .c''\mathrm {A} }{a''\mathrm {C} .b''\mathrm {A} .c''\mathrm {B} }}=1$

cioè i punti $a''b''c''$ saranno in linea retta. E viceversa, se $a''b''c''$ sono in linea retta, gli altri sei punti sono in una curva di second’ordine.

(b) Quando il luogo di second’ordine $aa'bb'cc'$ riducasi al sistema di due rette coincidenti, si ha:

Se ne’ punti in cui una cubica è segata da una retta data si conducono le tangenti, queste vanno ad incontrare la curva in tre altri punti che giacciono in una seconda retta⁶.

Se una retta tocca una cubica in un punto $a$ e la sega semplicemente in $a''$, questo secondo punto dicesi tangenziale del primo. Onde possiamo dire che, se tre punti di una cubica sono in una retta ${\rm {R}}$, i loro tangenziali giacciono in una seconda retta ${\rm {S}}$.

La retta ${\rm {S}}$ dicesi retta satellite di ${\rm {R}}$ (retta primaria), ed il punto comune alle ${\rm {R}}$, ${\rm {S}}$ si chiama punto satellite di ${\rm {R}}$.

Se ${\rm {R}}$ è tangente alla cubica, il punto satellite coincide col tangenziale del punto di contatto, e la retta satellite è la tangente alla cubica nel punto satellite.

(c) Supponendo che la retta $a''b''c''$ divenga una tangente stazionaria della cubica, si ha:

Se da un flesso di una cubica si conducono tre trasversali arbitrarie, queste la segano di nuovo in sei punti situati in una curva di second’ordine.

Dunque, se di questi sei punti, tre sono in linea retta, gli altri tre saranno in una seconda retta, epperò:

Se da un flesso si conducono tre tangenti ad una cubica, i tre punti di contatto sono in linea retta⁷.

(d). Supposti i punti $a''b''c''$ in linea retta, gli altri sei $aa'bb'cc'$ sono in una curva di second’ordine; onde, se tre di questi, $a'b'c'$, coincidono, si avrà:

Se tre trasversali condotte da un punto $a'$ di una cubica tagliano questa in tre punti $a''b''c''$ situati in linea retta ed in altri tre punti $abc$, la cubica avrà in $a'$ un contatto tripunto con una curva di second’ordine passante per $abc$.

Se $a''b''c''$ coincidono in un flesso, dal teorema precedente si ricava:

Ogni trasversale condotta per un flesso di una cubica sega questa in due punti, ne’ quali la curva data ha due contatti tripunti con una stessa curva di second’ordine⁸.

E per conseguenza:

Se da un flesso di una cubica si conduce una retta a toccarla in un altro punto, in questo la cubica ha un contatto sipunto con una curva di second’ordine⁹.

40. Consideriamo una curva-inviluppo della classe $m$, rappresentata dall’equazione 2'). Per ottenere le tangenti di questa curva, passanti per ${\rm {A}}$, dobbiamo fare ivi ${\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}=0$; l’equazione risultante darà i valori dell’altra coordinata relativi ai punti $a,\,a',\dots$ in cui il lato ${\rm {BC}}$ è incontrato dalle tangenti passanti per ${\rm {A}}$. Avremo così:

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {a'\mathrm {B} }{a'\mathrm {C} }}\dots =(-1)^{m}{\frac {\rho }{\alpha }}$.

Analogamente, pei punti $b,\,b',\dots$ in cui il lato ${\rm {CA}}$ è incontrato dalle tangenti passanti per ${\rm {B}}$, avremo:

${\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}.{\frac {b'\mathrm {A} }{b'\mathrm {C} }}\dots =(-1)^{m}{\frac {\rho }{\pi }}$.

Dividasi ora l’equazione 2') per $\left({\tfrac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}\right)^{m}$; avuto riguardo alla relazione:

${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}:{\frac {b\mathrm {A} }{b\mathrm {C} }}={\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}$,

si otterrà:

$\alpha \left({\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{m}+\beta \left({\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{m-1}.{\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}+\gamma \left({\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}\right)^{m-1}$ $+\dots +\pi +\rho \left({\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}\right)^{m}=0$.

Se in questa equazione si fa ${\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}=0$, si avranno i punti $c,c',\dots$ in cui ${\rm {AB}}$ è incontrata dalle tangenti che passano per ${\rm {C}}$. Quindi

${\frac {c\mathrm {B} }{c\mathrm {A} }}.{\frac {c'\mathrm {B} }{c'\mathrm {A} }}\dots =(-1)^{m}{\frac {\pi }{\alpha }}$.

I tre risultati così ottenuti danno:

3')	${\frac {a\mathrm {B} }{a\mathrm {C} }}.{\frac {a'\mathrm {B} }{a'\mathrm {C} }}\dots \times {\frac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}.{\frac {b'\mathrm {C} }{b'\mathrm {A} }}\dots \times {\frac {c\mathrm {A} }{c\mathrm {B} }}.{\frac {c'\mathrm {A} }{c'\mathrm {B} }}\dots =(-1)^{m}$.

Si ha dunque il teorema¹⁰:

Se dai vertici di un triangolo ${\rm {ABC}}$ si conducono le tangenti ad una curva della classe $m$, le quali incontrino i lati opposti ne’ punti $aa'\dots ,bb'\dots ,cc'\dots$, fra i segmenti determinati da questi punti sui lati si ha la relazione 3').

Per $m=1$ si ricade nel teorema di Ceva. Per $m=2$ si ha una proprietà relativa a sei tangenti di una curva di seconda classe; e se ne deduce il teorema che, se una tal curva è circoscritta ad un triangolo, le tangenti nei vertici incontrano i lati opposti in tre punti situati sopra una stessa retta. Ecc. ecc.

41. Si rappresentino con ${\rm {U=0}}$, ${\rm {U'=0}}$ due equazioni analoghe alla 2), relative a due curve d’ordine $n$. Indicando con $\lambda$ una quantità arbitraria, l’equazione ${\rm {U+\lambda U'=0}}$ rappresenterà evidentemente un’altra curva d’ordine $n$. I valori delle coordinate ${\tfrac {a\mathrm {C} }{a\mathrm {B} }},\,{\tfrac {b\mathrm {C} }{b\mathrm {A} }}$, che annullano ${\rm {U}}$ ed ${\rm {U'}}$, annullano anche ${\rm {U+\lambda U'}}$; dunque le $n^{2}$ intersezioni delle due curve rappresentate da ${\rm {U=0}}$, ${\rm {U'=0}}$ appartengono tutte alla curva rappresentata da ${\rm {U+\lambda U'=0}}$¹¹. Siccome poi quest’ultima equazione rappresenta una curva dell’ordine $n$ per ciascuno degli infiniti valori che si possono attribuire a $\lambda$, così abbiamo il teorema:

Per le $n^{2}$ intersezioni di due curve dell’ordine $n$ passano infinite altre curve dello stesso ordine.

Altrove (34) si è dimostrato che una curva d’ordine $n$ è determinata da ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ condizioni. Dal teorema precedente segue che per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ punti passa, in generale, una sola curva d’ordine $n$: poichè, se per quei punti passassero due curve di quest’ordine, in virtù di quel teorema, se ne potrebbero tracciare infinite altre.

Per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati (34) passano infinite curve d’ordine $n$, due delle quali si segheranno in altri $n^{2}-\left({\tfrac {n(n+3)}{2}}-1\right)={\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti; questi apparterranno dunque anche a tutte le altre curve descritte pei punti dati. Ossia:

Per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati ad arbitrio passano infinite curve d’ordine $n$, le quali,¹² oltre i dati, hanno in comune altri ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti determinati¹³.

Una qualunque di tali curve è individuata da un punto arbitrario, aggiunto ai dati ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$; cioè fra le infinite curve passanti per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati, ve n’ha una sola che passi per un altro punto preso ad arbitrio. Ne segue che l’indice della serie formata da quelle infinite curve (34) è 1. Ad una serie siffatta si dà il nome di fascio; ossia per fascio d’ordine $n$ s’intende il sistema delle infinite curve di quest’ordine, che passano per ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti dati ad arbitrio e, per conseguenza, per altri ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ punti individuati. Il complesso delle $n^{2}$ intersezioni comuni alle curve d’un fascio dicesi base del fascio.

Analoghe proprietà hanno luogo per le curve di data classe. Le $m^{2}$ tangenti comuni a due curve di classe $m$ toccano infinite altre curve della stessa classe. Vi ha una sola curva di classe $m$ che tocchi ${\tfrac {m(m+3)}{2}}$ rette date ad arbitrio. Tutte le curve di classe $m$ tangenti ad ${\tfrac {m(m+3)}{2}}-1$ rette arbitrarie hanno altre ${\tfrac {(m-1)(m-2)}{2}}$ tangenti comuni individuate.

Note

1. Dato da Ceva nel 1678.       [Einleitung]
2. Menelaus, Sphaerica, III, 1.       [Einleitung]
3. Aperçu historique, p. 280. {Chasles, Lettre à M. Quetelet. Correspondance mathématique et physique, t. VI, pag. 81, Bruxelles 1830.}
4. La citazione «pag. 291» riguarda una dimostrazione di Carnot, che non ha alcun fondamento. Vale invece la dimostrazione contenuta nell’altro passo citato (n. 378).
5. Géométrie de position, Paris 1803, p. 291 {n. 235; e p. 436, n. 378.}⁴
6. Vedi il trattato di Maclaurin sulle curve del 3.° ordine, tradotto da Jonquières: Mélanges de géométrie pure, Paris 1856, p. 223.
7. Maclaurin, l. c. p. 226.
8. Poncelet, Analyse des transversales (Giornale di Crelle, t. 8, Berlino 1832, p. 129-135).
9. Plücker, Ueber Curven dritter Ordnung und analytische Beweisführung (Giornale di Crelle, t. 34, Berlino 1847, p. 330).
10. Chasles, Géométrie supérieure, Paris 1852, p. 361.
11. Lamé, Examen des différentes méthodes employées pour résoudre les problèmes de géométrie, Paris 1818, p. 28.
12. Qui, in margine ad (A), sono aggiunte le parole: «se sono in numero $\infty ^{1}$». Accade in questo, come in altri luoghi della presente Memoria, che la locuzione «punti dati, o presi, ad arbitrio» vada intesa nel senso di «punti generici», cioè «escluse talune posizioni eccezionali».
13. Plücker, Analytisch-geometrische Entwicklungen, 1. Bd., Essen 1828, p. 229.