Opere matematiche di Luigi Cremona/Introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane/Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

by Luigi Cremona

Art. 9. Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

../Porismi di Chasles e teorema di Carnot ../Generazione delle linee piane IncludiIntestazione 7 maggio 2009 75% matematica

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Luigi Cremona - Opere matematiche (1914)

Art. 9. Altri teoremi fondamentali sulle curve piane

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Art. IX.

Altri teoremi fondamentali sulle curve piane.

42. Fra gli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}$ punti, che determinano una curva semplice d’ordine $n$, ve ne possono essere tutt’al più $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ situati in una curva d’ordine $p<n$. Infatti, se $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}+1$ punti giacessero in una curva d’ordine $p$, i rimanenti punti, il cui numero è ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-np$ $+{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}-1$ $={\tfrac {(n-p)(n-p+3)}{2}}$, determinerebbero (34) una curva d’ordine $n-p$, la quale insieme colla data curva d’ordine $p$ costituirebbe un luogo d’ordine $n$ passante per tutt’i punti dati. Dunque il massimo numero di punti che si possono prendere ad arbitrio sopra una curva d’ordine $p$, all’intento di descrivere per essi una curva semplice d'ordine $n>p$, è $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$¹.

43. Siano date due curve, l’una d’ordine $p$, l’altra d’ordine $q$, e sia $p+q=n$. Se nel luogo d’ordine $n$, formato da queste due curve, si prendono ad arbitrio ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, per essi passeranno infinite curve d’ordine $n$, le quali avranno in comune altre ${\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ intersezioni (41)², distribuite sulle due curve date. Nell’assumere ad arbitrio quegli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, se ne prendano $np-g$ sulla curva d’ordine $p$ ed $nq-h$ sulla curva d’ordine $q$, ove $g,\,h$ sono due numeri (interi e positivi) soggetti alla condizione:

1)	$g+h={\frac {(n-1)(n-2)}{2}}$.

Inoltre, affinchè le due curve siano determinate dai punti presi in esse, dovrà essere:

$np-g\geq {\frac {p(p+3)}{2}},\quad nq-h\geq {\frac {q(q+3)}{2}}$,

da cui:

$g\leq {\frac {p(p-3)}{2}}+pq,\quad h\leq {\frac {q(q-3)}{2}}+pq$.

Se in queste due relazioni poniamo per $g$ e per $h$ i valori dati dalla 1), abbiamo:

$h\geq {\frac {(q-1)(q-2)}{2}},\quad g\geq {\frac {(p-1)(p-2)}{2}}$.

Così sono fissati i limiti entro i quali devono essere compresi $g,\,h$. Possiamo dire che $g$ è compreso fra il limite minimo ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ ed il limite massimo ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}+p(n-p)-1$; e che $h$ è dato, mediante $g$, dalla 1). Abbiamo così il teorema³:

Tutte le curve d’ordine $n=p+q$⁴, descritte per $np-g$ punti dati di una curva d’ordine $p$ e per $nq-h$ punti dati di una curva d’ordine $q$, segano la prima curva in altri $g$ punti fissi e la seconda curva in altri $h$ punti fissi.

(a) Da questo teorema segue immediatamente:

Affinchè per le $n^{2}$ intersezioni di due curve d’ordine $n$ passi il sistema di due curve d’ordini $p,\,n-p$, è necessario e sufficiente che di queste intersezioni $np-g$ appartengano alla curva d’ordine $p$, ed $n(n-p)-h$ appartengano alla curva d’ordine $n-p$.

(b) Quando il numero $g$ ha il suo minimo valore, il teorema suenunciato può esprimersi così:

Ogni curva d’ordine $n$, descritta per $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ punti dati di una curva d’ordine $p<n$, incontra questa in altri ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ punti fissi.

Ovvero:

Se delle $n^{2}$ intersezioni di due curve d’ordine $n$, $np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ giacciono in una curva d’ordine $p<n$, questa ne conterrà altre ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$, e le rimanenti $n(n-p)$ saranno in una curva d’ordine $n-p$.

Del resto, questi teoremi sono compresi nel seguente più generale.

44. Date due curve, l’una ${\rm {C_{n}}}$ d’ordine $n$, l’altra ${\rm {C_{m}}}$ d’ordine $m<n$, se delle loro intersezioni ve ne sono $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ situate sopra una curva ${\rm {C_{p}}}$ d’ordine $p<n$, questa curva ne conterrà altre ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$; e le rimanenti $m(n-p)$ saranno sopra una curva d'ordine $n-p$.⁵

Infatti: fra le $(n-m)p$ intersezioni delle curve ${\rm {C_{p},\,C_{n}}}$ non comuni a ${\rm {C_{m}}}$, se ne prendano ${\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ e per esse si descriva una curva ${\rm {C_{n-m}}}$ d’ordine $n-m$. Avremo così due luoghi d’ordine $n$: l’uno è ${\rm {C_{n}}}$, l’altro è ${\rm {C_{m}+C_{n-m}}}$. La curva ${\rm {C_{p}}}$ contiene $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$$+{\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$$=np-{\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$ intersezioni de’ due luoghi, dunque (43, b) ne conterrà altre ${\tfrac {(p-1)(p-2)}{2}}$; cioè ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ comuni a ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{m}}}$, e $(n-m)p-{\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ comuni a ${\rm {C_{n}}}$, ${\rm {C_{n-m}}}$; e tutte le rimanenti saranno in una curva d’ordine $n-p$.

Da questo teorema segue che gli $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ punti dati comuni alle curve ${\rm {C_{n},\,C_{m},\,C_{p}}}$ individuano altri ${\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ punti comuni alle curve medesime. Tutti questi punti sono pienamente determinati dalle curve ${\rm {C_{m}}}$, ${\rm {C_{p}}}$, indipendentemente da ${\rm {C_{n}}}$; dunque:

Qualunque curva d’ordine $n$ descritta per $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ intersezioni di due curve d’ordini $m,\,p$ ($m,\,p$ non maggiori di $n$) passa anche per tutti gli altri punti comuni a queste curve⁶.⁷

45. I teoremi or ora dimostrati sono della più alta importanza, a cagione del loro frequente uso nella teoria delle curve. Qui mi limiterò ad accennare qualche esempio interessante.

(a). Una curva d’ordine $n$ sia segata da una trasversale ne’ punti $a,\,b,\,\dots$ e da una seconda trasversale ne’ punti $a',\,b',\dots$. Considerando il sistema delle $n$ rette $aa',\,bb',\dots$ come un luogo d’ordine $n$, le rimanenti intersezioni di esse colla curva data saranno (43, b) in una curva d’ordine $n-2$. Supponiamo ora che $a',\,b',\dots$ coincidano rispettivamente con $a,\,b,\dots$; avremo il teorema:

Se ne’ punti, in cui una curva d’ordine $n$ è segata da una retta, si conducono le tangenti alla curva, esse incontrano la curva medesima in altri $n(n-2)$ punti, situati sopra una curva d’ordine $n-2$⁸.

(b) Analogamente si dimostra il teorema generale:

Se ne’ punti, in cui una curva d’ordine $n$ è segata da un’altra curva d’ordine $n'$, si conducono le tangenti alla prima curva, esse la segheranno in altri $nn'(n-2)$ punti, tutti situati in una curva dell’ordine $n'(n-2)$.

Questo teorema è un’immediata conseguenza della proprietà dimostrata al principio del n. 44, purchè si consideri il complesso delle $nn'$ tangenti come un luogo dell’ordine $nn'$, e la curva d’ordine $n'$, ripetuta due volte, come un luogo dell’ordine $2n'$.

(c) Una curva del terz’ordine passi pei vertici di un esagono e per due de’ tre punti d’incontro delle tre coppie di lati opposti: dico che anche il punto comune alla terza coppia giace nella curva. Infatti: il primo, il terzo ed il quinto lato dell’esagono costituiscono un luogo di terz’ordine; mentre un altro luogo del medesimo ordine è formato dai tre lati di rango pari. Le nove intersezioni di questi due luoghi sono i sei vertici dell’esagono e i tre punti di concorso de’ lati opposti. Ma otto di questi punti giacciono per ipotesi nella curva data; dunque (41) questa conterrà anche il nono⁹; c. d. d.

Se i sei vertici sono in una curva di second’ordine, le altre tre intersezioni saranno in una retta (43,b); si ha così il celebre teorema di Pascal:

I lati opposti di un esagono inscritto in una curva di second’ordine si tagliano in tre punti situati in linea retta¹⁰.

Dal quale, pel principio di dualità, si conclude il teorema di Brianchon¹¹:

Le rette congiungenti i vertici opposti di un esagono circoscritto ad una curva di seconda classe concorrono in uno stesso punto.

(d) Tornando all’esagono inscritto in una curva del terz’ordine, siano 1 2 3 4 5 6 i vertici ed $a,\,b,\,c$ i punti ove s’incontrano le coppie di lati opposti [12, 45], [23, 56], [34, 61]. Se i punti 12 sono infinitamente vicini nella curva e così pure 45, i punti 1, 3, 4, 6, $b,\,c$ saranno i vertici di un quadrilatero completo ed $a$ sarà l’incontro delle tangenti alla curva ne’ punti 1 e 4; dunque:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz’ordine, le tangenti in due vertici opposti s’incontrano sulla curva¹².

Siano adunque, $abca'b'c'$ i vertici di un quadrilatero completo inscritto in una curva del terz’ordine: $abc$ siano in linea retta ed $a'b'c'$ i vertici rispettivamente opposti. Le tangenti in $aa',\,bb',\,cc'$ incontreranno la curva in tre punti $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$. Siccome però, se tre punti $abc$ di una curva del terz’ordine sono in una retta, anche i loro tangenziali $\alpha \beta \gamma$ sono in un’altra retta (39,b), così abbiamo il teorema:

Se un quadrilatero completo è inscritto in una curva del terz’ordine, le coppie di tangenti ne’ vertici opposti concorrono in tre punti della curva, situati in linea retta.

Note

1. Jacobi, De relationibus, quæ locum habere debent inter puncta intersectionis duarum curvarum etc. (Giornale di Crelle, t 15, Berlino 1836, p. 292)
2. Questo fatto non si può asserire senza riserve: perchè gli ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ punti, essendo stati presi sulle due curve date, di ordini $p,\,q$, non sono «punti presi ad arbitrio» nel senso della proposizione del n. 41 qui invocata. Effettivamente il teorema di Plücker, a cui poi si giunge, esigerebbe qualche restrizione (cfr. nota seguente); e così pure i corollari che se ne traggono in questo n. 43 e nel n. 44.
3. Plücker, Theorie der algeb. Curven, p. 11.
4. Qui, in (A), si aggiunge: «se in numero $\infty ^{1}$». Cfr. le due note precedenti.
5. Anche qui occorrono restrizioni. La dimostrazione che segue esige, fra altro, che sia $n<m+p$: se no, non si posson prendere (n. 42) su $C_{p}$ gli ${\tfrac {(n-m)(n-m+3)}{2}}$ punti per descrivere $C_{n-m}$ (irriducibile). Così per $n=3$, $m=2$, $p=1$ il teorema non vale. — È vera però, senza riserve, la proposizione così modificata (che occorre nel seguito): Date due curve $C_{m},\,C_{p}$ che si taglino in $mp$ punti, se per questi passa una $C_{n}$, ove $n>p$, essa taglia ulteriormente $C_{m}$ in $m(n-p)$ punti situati sopra una curva d’ordine $n-p$.
6. Cayley, {On the Intersection of Curves} (Cambridge Mathematical Journal, vol. III, 1843, p. 211).
7. Questo teorema vale solo (come già diceva il Cayley) colla condizione $n\leq m+p-3$. Anzi, esso va modificato così: fra le $mp$ intersezioni di due curve d’ordini $m,\,p$ se ne posson trovare $mp-{\tfrac {(m+p-n-1)(m+p-n-2)}{2}}$ tali che qualunque curva d’ordine $n\leq m+p-3$ descritta per essi passa anche ecc. ecc.
8. Maclaurin, l. c. p. 237.
9. Poncelet, Analyse des transversales, p. 132.
10. Pascal, Essai pour les coniques in Oeuvres de Blaise Pascal, A La Haye. Chez Detune 1779, t. 4, p. 1-7. — Cfr. anche: Weissenborn, Die Projection in der Ebene, Berlin, Weidmannsche Buchhandlung 1862. Vorrede p. VIII-XVII.       [Einleitung]
11. Brianchon, Journal de l’Ecole Polytechnique, cah. 13, pag. 301, Paris 1806.       [Einleitung]
12. Maclaurin, l.c. p. 237.