Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/381

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(g) Se passa volte e un maggior numero di volte per , questo punto è ancora multiplo secondo per . Inoltre, se si considera una delle tangenti di in , il teorema generale (, , ) dà intersezioni di questa retta con riunite in . Dunque le tangenti agli rami di toccano anche gli rami di .

Nello stesso modo si potrebbe dimostrare anche quanto è esposto nel n.° seguente.

52. Supponiamo ora che le basi de' due fasci abbiano un punto comune , il quale sia multiplo secondo per le curve del primo fascio e multiplo secondo per le curve del secondo. Ogni curva del primo fascio ha in un gruppo di tangenti: gli analoghi gruppi corrispondenti alle varie curve del fascio medesimo formano un'involuzione di grado . Similmente avremo un'involuzione di grado formata dalle tangenti in alle curve del secondo fascio. Le due involuzioni hanno raggi comuni (24, b), ciascuno de' quali toccando in due curve corrispondenti de' due fasci, tocca ivi anche la curva . Laonde questa curva ha rami passanti per , e le tangenti a questi rami sono i raggi comuni alle due involuzioni.

(a) Da ciò segue che, se tutte le curve d'uno stesso fascio hanno alcuna tangente comune in , questa è anche una tangente di . Supposto che tutte le tangenti in siano comuni alle curve del primo fascio, epperò siano tangenti anche alla curva d'ordine , le rimanenti tangenti di questa sono evidentemente le tangenti di quella curva del secondo fascio, che corrisponde alla curva del primo fascio, dotata di un punto multiplo secondo in (48) 1.

53. L'importante teorema (50) conduce naturalmente a porre questa questione: Dati quanti punti sono necessari per determinare una curva dell'ordine , formare due fasci projettivi, l'uno dell'ordine , l'altro dell'ordine , i quali, colle mutue intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva richiesta.

Ove questo problema sia risoluto, ne conseguirà immediatamente che ogni curva data d'ordine può essere generata dalle mutue intersezioni delle curve corrispondenti di due fasci projettivi degli ordini ed . [59]

La soluzione di quel problema fondamentale dipende da alcuni teoremi dovuti ai signori Chasles e Jonquières, che ora ci proponiamo di esporre. I quali teoremi però ____________

  1. <Se in entrambi i fascile curve (d'uno stesso fascio) hanno le stesse tangenti in , e se inoltre si corrispondono fra loro le due curve per le quali è risp. plo, plo, in tal caso è multiplo secondo per la curva . Le tangenti di questa in sono allora i raggi uniti di due involuzioni projettive, di gradi , , nelle quali si corrispondono le tangenti alle due curve per le quali è plo, plo, e si corrispondono pure i due gruppi di tangenti comuni ai quali sia aggiunta una retta arbitraria, e questa poi venga tolta dai raggi uniti.>