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risguardano soltanto le curve d'ordine $n+n'>2$, poiché, per quelle del second'ordine, basta la proposizione dimostrata al n. 50, come si vedrà fra poco (59). Ci sia dunque lecito supporre $n+n'$ non minore di 3.

54. Sopra una curva $C_{n+n'}$ d'ordine $n+n'$ si suppongano presi $n^{2}$ punti formanti la base d'un fascio d'ordine $n$, e ritengasi in primo luogo $n>n'$. Siano $C_{n}$, $C_{n}'$ due curve di questo fascio. Siccome delle $n(n+n')$ intersezioni delle curve $C_{n+n'}$, $C_{n}$ ve ne sono $n^{2}$ situate in $C_{n}'$, così (44) le altre $nn'$ saranno sopra una curva $C_{n'}$ d'ordine $n'$, la quale è determinata [60], perchè, essendo $n>n'$, si ha $n\geq {\tfrac {n'+3}{2}}$, epperò $nn'\geq {\tfrac {n'(n'+3)}{2}}$¹. Analogamente: siccome delle $n(n+n')$ intersezioni di $C_{n+n'}$, $C_{n}'$ ve ne sono $n^{2}$ sopra $C_{n}$, così le altre $nn'$ saranno in una curva $C_{n'}'$ d'ordine $n'$.

I due luoghi d'ordine $n+n'$, $C_{n}+C_{n'}'$ e $C_{n}'+C_{n'}$ si segano in $(n+n')^{2}$ punti, de' quali $n^{2}+2nn'=n(n+2n')$ sono situati in $C_{n+n'}$. Quindi, siccome $n(n+2n')\geq {\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1$ ², così (41) anche le altre ${n'}^{2}$ intersezioni di que' due luoghi, ossia gli ${n'}^{2}$ punti comuni a $C_{n'}$, $C_{n'}'$, giacciono in $C_{n+n'}$ e formano la base d'un fascio d'ordine $n'$. Così abbiamo sopra $C_{n+n'}$ due sistemi di punti: l'uno di $n^{2}$ punti, base d'un fascio d'ordine $n$; l'altro di ${n'}^{2}$ punti, base d'un secondo fascio d'ordine $n'$. Ogni curva $C_{n}$ del primo fascio sega $C_{n+n'}$ in altri $nn'$ punti, che determinano una curva $C_{n'}$ del secondo fascio; e viceversa, questa curva determina la prima. Dunque i due fasci sono projettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti $C_{n}$, $C_{n'}$ sono tutte situate sopra $C_{n+n'}$.

(a) In secondo luogo, si supponga $n\leq n'$. Ogni curva $C_{n}$, condotta per gli $n^{2}$ punti di $C_{n+n'}$, sega questa curva in altri $nn'$ punti, i quali, in questo caso, non sono indipendenti fra loro, perchè ogni curva d'ordine $n'$ condotta per $nn'-{\tfrac {(n-1)(n-2)}{2}}$ di questi punti passa anche per tutti gli altri (41, 42). Dunque, assumendo ad arbitrio altri

${\frac {n'(n'+3)}{2}}-\left(nn'-{\frac {(n-1)(n-2)}{2}}\right)={\frac {(n'-n+1)(n'-n+2)}{2}}$

punti, tutti questi ${\tfrac {n'(n'+3)+(n-1)(n-2)}{2}}$ punti giaceranno in una curva $C_{n'}$ d'ordine $n'$. Quei punti addizionali siano presi sulla curva data $C_{n+n'}$.

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1. Per $n=2$, $n'=1$, si ha $n={\tfrac {n'+3}{2}}$; in ogni altro caso è $n>{\tfrac {n'+3}{2}}$.
2. Se $n=2$, $n'=1$, si ha $n(n+2n')={\tfrac {(n+n')(n+n'+3)}{2}}-1$. Per $n\geq 3$ si ha $n(n+2n')={\tfrac {(n+n')^{2}+n(n+n')+n'(n-n')}{2}}>{\tfrac {(n+n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$.