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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane. |
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risguardano soltanto le curve d’ordine
, poichè, per quelle del second’ordine, basta la proposizione dimostrata al n. 50, come si vedrà fra poco (59). Ci sia dunque lecito supporre
non minore di 3.
54. Sopra una curva
d’ordine
si suppongano presi
punti formanti la base d’un fascio d’ordine
, e ritengasi in primo luogo
. Siano
,
due curve di questo fascio. Siccome delle
intersezioni delle curve
,
ve ne sono
situate in
, così (44) le altre
saranno sopra una curva
d’ordine
, la quale è determinata60, perchè, essendo
, si ha
, epperò
1.
Analogamente: siccome delle
intersezioni di
,
ve ne sono
sopra
, così le altre
saranno in una curva
d’ordine
.
I due luoghi d’ordine
,
e
si segano in
punti, de’ quali
sono situati in
. Quindi, siccome
2, così (41) anche le altre
intersezioni di que’ due luoghi, ossia gli
punti comuni a
,
, giacciono in
e formano la base d’un fascio d’ordine
. Così abbiamo sopra
due sistemi di punti: l’uno di
punti, base d’un fascio d’ordine
; l’altro di
punti, base d’un secondo fascio d’ordine
. Ogni curva
del primo fascio sega
in altri
punti, che determinano una curva
del secondo fascio; e viceversa, questa curva determina la prima. Dunque i due fasci sono projettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti
,
sono tutte situate sopra
.
(a) In secondo luogo, si supponga
. Ogni curva
, condotta per gli
punti di
, sega questa curva in altri
punti, i quali, in questo caso, non sono indipendenti fra loro, perchè ogni curva d’ordine
condotta per
di questi punti passa anche per tutti gli altri (41, 42). Dunque, assumendo ad arbitrio altri
punti, tutti questi
punti giaceranno in una curva
d’ordine
. Quei punti addizionali siano presi sulla curva data
.
- ↑ Per
,
, si ha
; in ogni altro caso è
.
- ↑ Se
,
, si ha
. Per
si ha
.