Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/382

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risguardano soltanto le curve d'ordine , poiché, per quelle del second'ordine, basta la proposizione dimostrata al n. 50, come si vedrà fra poco (59). Ci sia dunque lecito supporre non minore di 3.

54. Sopra una curva d'ordine si suppongano presi punti formanti la base d'un fascio d'ordine , e ritengasi in primo luogo . Siano , due curve di questo fascio. Siccome delle intersezioni delle curve , ve ne sono situate in , così (44) le altre saranno sopra una curva d'ordine , la quale è determinata [60], perchè, essendo , si ha , epperò 1. Analogamente: siccome delle intersezioni di , ve ne sono sopra , così le altre saranno in una curva d'ordine .

I due luoghi d'ordine , e si segano in punti, de' quali sono situati in . Quindi, siccome 2, così (41) anche le altre intersezioni di que' due luoghi, ossia gli punti comuni a , , giacciono in e formano la base d'un fascio d'ordine . Così abbiamo sopra due sistemi di punti: l'uno di punti, base d'un fascio d'ordine ; l'altro di punti, base d'un secondo fascio d'ordine . Ogni curva del primo fascio sega in altri punti, che determinano una curva del secondo fascio; e viceversa, questa curva determina la prima. Dunque i due fasci sono projettivi e le intersezioni delle curve corrispondenti , sono tutte situate sopra .

(a) In secondo luogo, si supponga . Ogni curva , condotta per gli punti di , sega questa curva in altri punti, i quali, in questo caso, non sono indipendenti fra loro, perchè ogni curva d'ordine condotta per di questi punti passa anche per tutti gli altri (41, 42). Dunque, assumendo ad arbitrio altri

punti, tutti questi punti giaceranno in una curva d'ordine . Quei punti addizionali siano presi sulla curva data .

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  1. Per , , si ha ; in ogni altro caso è .
  2. Se , , si ha . Per si ha .