Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/383

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Analogamente: un'altra curva , del fascio d'ordine , sega in punti (oltre gli punti-base) e questi insieme agli punti addizionali suddetti determineranno una curva d'ordine .

I due luoghi d'ordine , e hanno in comune punti, de' quali sono in . Ma questo numero è eguale a epperò ; dunque (41) le rimanenti intersezioni di , sono anch'esse in , ed insieme ai punti addizionali costituiscono la base d'un fascio d'ordine . Così, anche in questo caso, abbiamo in due sistemi di punti, costituenti le basi di due fasci, degli ordini , . I due fasci sono projettivi, perchè ogni curva dell' uno determina una curva dell' altro e reciprocamente. Inoltre le curve corrispondenti si segano costantemente in punti appartenenti alla data . 1

(b) Questo teorema mostra in qual modo, data una curva d'ordine ed in essa i punti-base d'un fascio d'ordine , si possano determinare i punti-base d'un secondo fascio d'ordine , projettivo al primo, talmente che i due fasci, colle intersezioni delle curve corrispondenti, generino la curva data. Rimane a scoprire come si determinino, sopra una curva data d'ordine , gli punti-base d'un fascio di curve d'ordine .

55. In primo luogo osserviamo che dal teorema di Cayley (44) si ricava:

Se una curva d'ordine contiene intersezioni di due curve d'ordine , essa contiene anche tutte le altre. Ossia:

Quando punti-base d'un fascio d'ordine giacciono in una curva, d'ordine , questa contiene anche tutti gli altri.

Il qual teorema suppone manifestamente ossia . Sia dunque e supponiamo che sopra una data curva d'ordine si vogliano prendere punti costituenti la base d'un fascio d'ordine . Affinchè la curva data contenga gli punti-base, basta che ne contenga , cioè devono essere sodisfatte altrettante condizioni.

Ora, astraendo dalla curva data, gli punti-base sono determinati da

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  1. Chasles, Deux théorèmes généraux sur les courbes et les surfaces géométriques de tous les ordres (Comptes rendus, 28 décembre 1857).