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introduzione ad una teoria geometrica delle curve piane.

fra essi, e siccome per determinare un punto sono necessarie due condizioni, così per determinare tutta la base del fascio abbisognerebbero $n(n+3)-2$ condizioni. Ma volendo soltanto che i punti-base siano nella curva data, non si hanno da sodisfare che $n^{2}-{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}$ condizioni; quindi rimarranno $n(n+3)-2-n^{2}+$ $+{\tfrac {(n-n'-1)(n-n'-2)}{2}}={\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$ condizioni libere, cioè d’altrettanti elementi si può disporre ad arbitrio. Siccome un punto che debba giacere sopra una data curva è determinato da una sola condizione, così potremo prendere, ad arbitrio, nella curva data ${\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$ punti, per formare la base del fascio d’ordine $n$.

Nell’altro caso poi, in cui sia $n\leq n'+2$, perchè gli $n^{2}$ punti-base siano nella curva data, occorrono $n^{2}$ condizioni; quindi, ragionando come dianzi, rimarranno $n(n+3)-2-n^{2}=3n-2$ condizioni libere. Dunque:

Quando in una curva data d’ordine $n+n'$ si vogliono determinare $n^{2}$ punti costituenti la base d’un fascio d’ordine $n$, si possono prendere ad arbitrio nella curva ${\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$, ovvero $3n-2$ punti, secondo che sia $n>n'+2$, ovvero $n\leq n'+2$¹.⁶¹

Dai due teoremi ora dimostrati (54, 55) risulta che una curva qualunque d’ordine $m$, può essere generata, in infinite maniere diverse, mediante due fasci projettivi, i cui ordini $n$, $n'$ diano una somma $n+n'=m$.

56. Trovato così il numero de’ punti che si possono prendere ad arbitrio sopra una data curva d’ordine $m$, per costituire la base d’un fascio d’ordine $n<m$, rimane determinato anche il numero de’ punti che non sono arbitrari, ma che è d’uopo individuare, per rendere complete le basi de’ due fasci generatori. Ed invero: se il numero $m$ è diviso in due parti $n$, $n'$, queste o saranno disuguali, o uguali. Siano dapprima disuguali, ed $n$ la maggiore.

Se $n>n'+2$, il numero de punti arbitrari è ${\tfrac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}$. Ma le basi de’ due fasci sono rispettivamente determinate da ${\tfrac {n(n+3)}{2}}-1$ e da ${\tfrac {n'(n'+3)}{2}}-1$ punti; dunque il numero de’ punti incogniti è

${\frac {n(n+3)+n'(n'+3)}{2}}-2-{\frac {(n-n')^{2}+3(n+n')-2}{2}}=nn'-1$.

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1. Chasles, Détermination du nombre de points qu’on peut prendre etc. (Comptes rendus, 21 septembre 1857).