Pagina:Opere matematiche (Cremona) I.djvu/384

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fra essi, e siccome per determinare un punto sono necessarie due condizioni, così per determinare tutta la base del fascio abbisognerebbero condizioni. Ma volendo soltanto che i punti-base siano nella curva data, non si hanno da sodisfare che condizioni; quindi rimarranno


condizioni libere cioè d'altrettanti elementi si può disporre ad arbitrio. Siccome un punto che debba giacere sopra una data curva è determinato da una sola condizione, così potremo prendere, ad arbitrio, nella curva data punti, per formare la base del fascio d'ordine .

Nell'altro caso poi, in cui sia , perchè gli punti-base siano nella curva data, occorrono condizioni; quindi, ragionando come dianzi, rimarranno condizioni libere. Dunque:

Quando in una curva data d'ordine si vogliono determinare punti costituenti la base d'un fascio d'ordine , si possono prendere ad arbitrio nella curva , ovvero punti, secondo che sia , ovvero .1 [61]

Dai due teoremi ora dimostrati (54, 55) risulta che una curva qualunque d'ordine , può essere generata, in infinite maniere diverse, mediante due fasci projettivi, i cui ordini , diano una somma .

56. Trovato così il numero de' punti che si possono prendere ad arbitrio sopra una data curva d'ordine , per costituire la base d'un fascio d'ordine , rimane determinato anche il numero de' punti che non sono arbitrari, ma che è d'uopo individuare, per rendere complete le basi de' due fasci generatori. Ed invero: se il numero è diviso in due parti , , queste o saranno disuguali, o uguali. Siano dapprima disuguali, ed la maggiore.

Se , il numero de punti arbitrari e . Ma le basi de' due fasci sono rispettivamente determinate da e da punti; dunque il numero de' punti incogniti è

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  1. Chasles, Détermination du nombre de points qu'on peut prendre etc. (Comptes rendus, 21 septembre 1857).